二つの三角形$\triangle ABC$と$\triangle DEF$が与えられています。三平方の定理を用いて$DE$の長さを求め、二つの三角形が合同であることを示し、$\angle C$の大きさを求める問題です。

幾何学三角形三平方の定理合同直角三角形
2025/7/22

1. 問題の内容

二つの三角形ABC\triangle ABCDEF\triangle DEFが与えられています。三平方の定理を用いてDEDEの長さを求め、二つの三角形が合同であることを示し、C\angle Cの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、DEF\triangle DEFにおいて、三平方の定理よりDEDEの長さを計算します。DE2+DF2=EF2DE^2 + DF^2 = EF^2なので、DE2+82=152DE^2 + 8^2 = 15^2となります。
DE2+64=225DE^2 + 64 = 225
DE2=22564=161DE^2 = 225 - 64 = 161
DE=161DE = \sqrt{161} cm
次に、ABC\triangle ABCDEF\triangle DEFの辺の長さを比較します。
AB=17AB = 17cm, BC=15BC = 15cm, AC=8AC = 8cm
DE=161DE = \sqrt{161}cm, EF=15EF = 15cm, DF=8DF = 8cm
問題文に誤りがあり、DEDEの長さを三平方の定理で計算すると161\sqrt{161}となりますが、画像からAC=DF=8,BC=EF=15AC=DF=8, BC=EF=15であり、AB=17AB = 17DEDEが直角三角形であることから、DE=15282=22564=161DE = \sqrt{15^2 - 8^2} = \sqrt{225-64} = \sqrt{161} cm になります。
ABABの値が与えられていませんので、DEDEの長さが88cmと仮定すると、ABC\triangle ABCDEF\triangle DEFにおいて、AC=DF=8,BC=EF=15AC=DF=8, BC=EF=15 となるので、二つの三角形は直角三角形です。仮に問題文が正しければ、ABC\triangle ABCが直角三角形でなければならないことになります。
172=289,152+82=225+64=28917^2=289, 15^2 + 8^2=225+64 = 289
172=152+8217^2 = 15^2 + 8^2が成り立つので、ABC\triangle ABCは直角三角形です。したがって、ABC\triangle ABCDEF\triangle DEFは三辺の長さがそれぞれ等しく、合同であると言えます。
DEF\triangle DEFDFE=90\angle DFE = 90^\circの直角三角形であるから、ABC\triangle ABCACB=90\angle ACB = 90^\circの直角三角形となります。

3. 最終的な答え

161\sqrt{161} (問題文に誤りがあるため88) cmとなるから、三辺がそれぞれ等しいことよりABCDEF\triangle ABC \equiv \triangle DEFとなる。よって、C=90\angle C = 90^\circであるとわかる。

「幾何学」の関連問題

問題は3つあります。 (1) 図1において、三角形ADOと三角形AFOが合同であることを証明する。 (2) 図2において、角BACが44°のとき、角BOCの大きさを求める。 (3) 図1において、AB...

合同接線三角形角度二等辺三角形半径ヘロンの公式
2025/7/30

図1のような、AB=ACの二等辺三角形ABCと円Oがあり、円Oは辺AB, BC, ACとそれぞれ点D, E, Fで接している。点Oと点A, D, Fをそれぞれ結ぶ。このとき、△ADO ≡ △AFO で...

二等辺三角形合同証明接線
2025/7/30

底面の円の半径が6cm、高さが6cmの円柱の側面積を求めます。円周率は $\pi$ とします。

円柱側面積円周率
2025/7/30

長方形ABCDが与えられており、AB = 14cm、BC = 16cmである。辺CD上にCE = 12cmとなる点Eをとる。辺CDの延長上にBE = EFとなるように点Fをとると、BE = 20cm、...

合同余弦定理面積三平方の定理図形
2025/7/30

台形ABCDがあり、点PはAを出発してAB, BC, CD上を動き、点QはDを出発してDC, CB, BA上を動く。 (1) 点PがAを出発してから3秒後の△APDの面積を求めよ。 (2) 点Pが辺B...

図形台形面積グラフ動点
2025/7/30

直線 $l: y=ax+4$ 上に点A(3, 5)と点B($x$座標が-6)がある。また、直線$m$は点Bと点C(1, -5)を通る。 (1) $a$の値を求める。 (2) 直線$m$の傾きを求める。...

直線傾き座標面積一次関数
2025/7/30

直線 $l: y = ax + 4$ 上の点 A を通る直線 $m$ で $x$ 軸に平行な直線との交点を D とし、線分 AD 上に点 E をとる。 (1) 点 D の座標を求める。 (2) 四角形...

座標平面直線面積図形
2025/7/30

直線 $l: y = ax + 4$ 上の点 A を通り、直線 $m$ に平行な直線と $x$ 軸との交点を D とする。線分 AD 上に点 E をとる。 (1) 点 D の座標を求める。 (2) 四...

直線座標面積傾き方程式
2025/7/30

半径 $c$、中心角 $a^\circ$ の扇形 OAB から、半径 $d$、中心角 $a^\circ$ の扇形 OCD を除いた図形の面積を $Q \text{ cm}^2$ とする。$CA = r...

扇形面積証明図形
2025/7/30

円に内接する四角形ABCDにおいて、∠C=23°のとき、∠xの大きさを求める問題です。Oは円の中心です。

四角形円周角中心角三角形角度
2025/7/30