直線 $l: y=ax+4$ 上に点A(3, 5)と点B($x$座標が-6)がある。また、直線$m$は点Bと点C(1, -5)を通る。 (1) $a$の値を求める。 (2) 直線$m$の傾きを求める。 (3) 点Aを通り直線$m$に平行な直線と$x$軸との交点をDとし、線分AD上に点Eをとる。 (i) 点Dの座標を求める。 (ii) 四角形OEABの面積が31のとき、点Eの座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y=ax+4$ 上に点A(3, 5)と点B($x$座標が-6)がある。また、直線$m$は点Bと点C(1, -5)を通る。

(1) $a$の値を求める。

(2) 直線$m$の傾きを求める。

(3) 点Aを通り直線$m$に平行な直線と$x$軸との交点をDとし、線分AD上に点Eをとる。

(i) 点Dの座標を求める。

(ii) 四角形OEABの面積が31のとき、点Eの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(3, 5)が直線 $l: y=ax+4$ 上にあるので、$x=3$, $y=5$を代入する。

$5 = 3a + 4$

$3a = 1$

$a = \frac{1}{3}$

(2) まず点Bの座標を求める。点Bは直線 $l: y=\frac{1}{3}x+4$ 上にあり、$x=-6$なので、

$y = \frac{1}{3}(-6)+4 = -2+4 = 2$

よって点Bの座標は(-6, 2)。

次に、点B(-6, 2)と点C(1, -5)を通る直線$m$の傾きを求める。

傾き $= \frac{-5-2}{1-(-6)} = \frac{-7}{7} = -1$

(3)

(i) 点A(3, 5)を通り直線$m$に平行な直線の式を求める。直線$m$の傾きは-1なので、求める直線は傾き-1で点A(3, 5)を通る。

$y - 5 = -1(x - 3)$

$y = -x + 3 + 5$

$y = -x + 8$

点Dは$x$軸との交点なので、$y=0$を代入する。

$0 = -x + 8$

$x = 8$

よって点Dの座標は(8, 0)。

(ii) 四角形OEABの面積が31のとき、点Eの座標を求める。

点Eは線分AD上にあるので、点Eの座標を$(x, y)$とおくと、$y = -x + 8$を満たす。

よって点Eの座標は$(x, -x+8)$。

四角形OEABの面積は、三角形OABの面積 + 三角形OAEの面積で計算できる。

点O(0, 0), E(x, -x+8), A(3, 5), B(-6, 2)

三角形OABの面積 = $\frac{1}{2} | (3)(2) - (5)(-6) | = \frac{1}{2} |6 + 30| = \frac{1}{2} |36| = 18$

三角形OAEの面積 = $\frac{1}{2} | (x)(5) - (-x+8)(3) | = \frac{1}{2} | 5x + 3x - 24 | = \frac{1}{2} |8x - 24|$

四角形OEABの面積 = 18 + $\frac{1}{2} |8x - 24| = 31$

$\frac{1}{2} |8x - 24| = 13$

$|8x - 24| = 26$

$8x - 24 = 26$または$8x - 24 = -26$

$8x = 50$または$8x = -2$

$x = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$または$x = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

$x = \frac{25}{4}$のとき、$y = -\frac{25}{4} + 8 = \frac{-25+32}{4} = \frac{7}{4}$

$x = -\frac{1}{4}$のとき、$y = \frac{1}{4} + 8 = \frac{1+32}{4} = \frac{33}{4}$

点Eは線分AD上にあるので、点A(3, 5)と点D(8, 0)の間にある必要がある。

$3 < x < 8$なので、$x = \frac{25}{4} = 6.25$と$x = -\frac{1}{4}$の2つのうち、$x = \frac{25}{4}$が適切。

よって、点Eの座標は$(\frac{25}{4}, \frac{7}{4})$。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{3}$

(2) 直線$m$の傾き: -1

(3) (i) 点Dの座標: (8, 0)

(ii) 点Eの座標: $(\frac{25}{4}, \frac{7}{4})$