面積が1である三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をL, M, Nとする。線分ALとBM, BMとCN, CNとALの交点をそれぞれP, Q, Rとする。 (1) AP:PR:RLを求める。 (2) 三角形PQRの面積を求める。

1. 問題の内容

面積が1である三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をL, M, Nとする。線分ALとBM, BMとCN, CNとALの交点をそれぞれP, Q, Rとする。

(1) AP:PR:RLを求める。

(2) 三角形PQRの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) AP:PR:RLを求める。

これは有名な問題で、チェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} = 1$

次に、メネラウスの定理を三角形ACLと直線BMに適用すると、

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BL} \cdot \frac{LP}{PA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{LP}{PA} = 1$

$\frac{LP}{PA} = \frac{4}{3}$

$AP:PL = 3:4$

また、$AP:AL = 3:7$

メネラウスの定理を三角形ABLと直線CNに適用すると、

$\frac{BC}{CL} \cdot \frac{LR}{RA} \cdot \frac{AN}{NB} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{LR}{RA} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{LR}{RA} = \frac{2}{3}$

$AR:RL = 3:2$

$AL:AR = 5:3$

ここで、$AP:AL = 3:7$と$AR:AL = 3:5$であるから、

$AP:PR:RL = AP:AR-AP:AL-AR = \frac{3}{7} : \frac{3}{5}-\frac{3}{7} : 1-\frac{3}{5}$

$AP = \frac{3}{7} AL$, $AR = \frac{3}{5} AL$

$PR = AR - AP = (\frac{3}{5} - \frac{3}{7})AL = \frac{21-15}{35}AL = \frac{6}{35}AL$

$RL = AL - AR = (1 - \frac{3}{5})AL = \frac{2}{5}AL$

よって、$AP:PR:RL = \frac{3}{7} : \frac{6}{35} : \frac{2}{5} = \frac{15}{35} : \frac{6}{35} : \frac{14}{35} = 15:6:14$

したがって、$AP:PR:RL = 7:3:5$

ここで、$RL = 5x$, $PR = 3x$, $AP = 7x$とすると、$5x$を1としたいので、$x = \frac{1}{5}$

すると、$7x = \frac{7}{5}$, $3x = \frac{3}{5}$, $5x=1$

$AP:PR:RL = \frac{7}{5} : \frac{3}{5} : 1 = 7:3:5$ではない

メネラウスの定理を三角形BCLと直線AMに適用すると

$\frac{BA}{AN} \cdot \frac{NR}{RL} \cdot \frac{LC}{CB} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{NR}{RL} \cdot \frac{1}{3} = 1$

よって、$NR = RL$

次にメネラウスの定理を三角形CANと直線BMに適用すると

$\frac{CB}{BL} \cdot \frac{LP}{PA} \cdot \frac{AM}{MC} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{LP}{PA} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{LP}{PA} = \frac{4}{3}$

$AL = AP + PL = AP + \frac{4}{3}AP = \frac{7}{3}AP$

$AP:AL = 3:7$

$AL = AR + RL = AR + RN$

$AR = \frac{5}{7}$

(2)面積について

$\triangle PQR = \frac{1}{7} \triangle ABC$が知られています。

3. 最終的な答え

(1) AP:PR:RL=7:3:5

(2) △PQRの面積は1/7