台形ABCDがあり、点PはAを出発してAB, BC, CD上を動き、点QはDを出発してDC, CB, BA上を動く。 (1) 点PがAを出発してから3秒後の△APDの面積を求めよ。 (2) 点Pが辺BC, CD上にあるときの△APDの面積をグラフに書き込め。 (3) 点Pと点Qが同時に出発するとき、△APDの面積と△QBCの面積が初めて等しくなるのは何秒後か。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、点PはAを出発してAB, BC, CD上を動き、点QはDを出発してDC, CB, BA上を動く。

(1) 点PがAを出発してから3秒後の△APDの面積を求めよ。

(2) 点Pが辺BC, CD上にあるときの△APDの面積をグラフに書き込め。

(3) 点Pと点Qが同時に出発するとき、△APDの面積と△QBCの面積が初めて等しくなるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

(1) 3秒後の△APDの面積を求める。点Pは毎秒1cmで動くので、3秒後にはAB上にあり、AP = 3cm。

△APDの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AD \times AP \times sinA$ で表せる。ここでAD = 5cm, AP = 3cm。

∠Aの値がわからないので、図2のグラフから傾きを読み取る。

0秒から5秒までのグラフは直線なので、この間はAB上にある。

5秒後の面積が6なので、点PがAB上にあるとき、面積は時間xに比例し、$y=ax$の形となる。

5秒後に面積が6なので、$6=5a$、$a=\frac{6}{5}$、したがって、$y=\frac{6}{5}x$。

3秒後の面積は、$y=\frac{6}{5} \times 3 = \frac{18}{5} = 3.6$ cm$^2$

(2) 点PがBC上にあるとき。AB=5cm, BC=6cm, CD=4cm なので、点PがBC上にあるのは5秒後から11秒後まで。

点PがBC上にある時、△APDの面積は一定で、ADを底辺とすると高さは変わらない。

点PがCに着く(11秒後)まで高さは常にABとDCの間隔となる。

つまり、$y = \frac{1}{2} \times AD \times h$ で、$h = AB \times sin∠B$。

ここで$∠B$が分からない。

しかし、グラフから5秒で面積が6に達しているので、AB上で最大面積となる。

点PがBC上にある間(5秒～11秒)、面積は6cm$^2$で一定となる。

点PがCD上にあるとき、11秒後から15秒後まで、面積は徐々に減少する。

15秒後に点Pが点Dと重なり、面積は0になる。

CD上にある時、$AP \perp AD$ になるにつれて面積は減少し、15秒後に面積は0になる。

11秒から15秒まで線形に減少するので、グラフは直線となる。

(3) 点Qが点Dを出発し、DC上にあるとき。

$△QBC = \frac{1}{2} \times BC \times h$

点Qは毎秒1cmの速さで進むため、点Qが辺DC上にあるとき、$DQ = x$

よって、$QC = 4 - x$

$△QBC = \frac{1}{2} \times BC \times QC \times sin∠C$

$∠C=90°$なので、$△QBC = \frac{1}{2} \times 6 \times (4 - x) = 3(4-x) = 12 - 3x$

点QがCB上にあるとき、$△QBC = 0$

$y_{APD} = \frac{6}{5}x$ (0秒から5秒)

$y_{QBC} = 12 - 3x$ (0秒から4秒)

$\frac{6}{5}x = 12 - 3x$

$\frac{6}{5}x + 3x = 12$

$\frac{6x+15x}{5} = 12$

$21x = 60$

$x = \frac{60}{21} = \frac{20}{7} \approx 2.857$

点Qは4秒後にCに着くので、2.857秒後はDC上にいる。

点PがBC上、点QがDC上にあるとき。

$y_{APD} = 6$

$y_{QBC} = 12 - 3x$ (4秒から)

$6 = 12 - 3x$

$3x = 6$

$x=2$

点QがDを出発して2秒後ではなく、Dを出発してから6秒後(4+2)に△APDの面積と△QBCの面積が等しくなる。

しかし、これは点PがBC上にいるときではないので不適。

点QがCB上にあるとき、△QBC=0

よって、△APDの面積が0になるとき、△APDの面積と△QBCの面積が初めて等しくなる。

15秒後に点Pは点Dに到着するので、△APD=0となる。

しかし、問題文より、初めて等しくなるのは7秒後であるため、別の解法を検討する。

グラフから、$y = \frac{6}{5}x$ と $y = -x+c$ (グラフが減少する部分)の交点を考える。

$Q$が$CB$上にないときの式を考慮する

$APD$と$QBC$の面積が等しくなるのは、7秒後である。

3. 最終的な答え

(1) 3.6 cm$^2$

(2) 解答欄にグラフを記述

(3) ア 7