半径 $c$、中心角 $a^\circ$ の扇形 OAB から、半径 $d$、中心角 $a^\circ$ の扇形 OCD を除いた図形の面積を $Q \text{ cm}^2$ とする。$CA = r \text{ cm}, CD = l \text{ cm}, AB = m \text{ cm}$ のとき、$Q = \frac{1}{2}r(l+m)$ となることを証明する。

## 解答

1. 問題の内容

半径 $c$、中心角 $a^\circ$ の扇形 OAB から、半径 $d$、中心角 $a^\circ$ の扇形 OCD を除いた図形の面積を $Q \text{ cm}^2$ とする。$CA = r \text{ cm}, CD = l \text{ cm}, AB = m \text{ cm}$ のとき、$Q = \frac{1}{2}r(l+m)$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

扇形 OAB の面積を $S_{OAB}$、扇形 OCD の面積を $S_{OCD}$ とすると、斜線部分の面積 $Q$ は、

$Q = S_{OAB} - S_{OCD}$

で表される。

扇形の面積は $S = \frac{1}{2} \times \text{半径} \times \text{弧の長さ}$で求められるので、

$S_{OAB} = \frac{1}{2}cm$

$S_{OCD} = \frac{1}{2}dl$

となる。したがって、

$Q = \frac{1}{2}cm - \frac{1}{2}dl = \frac{1}{2}(cm - dl)$

ここで、$c = d + r$ であるから、$cr = (d+r)r = dr + r^2$ となり、$cr-dr = r^2$

したがって、

$Q=\frac{1}{2}(cm - dl)$

$=\frac{1}{2}r(c-d)a^{\circ} = \frac{1}{2}r(d+r) \times \frac{2\pi c}{360^{\circ}}$

$=\frac{1}{2}r(m+l)$

半径と中心角から弧の長さを求めると、

$m = c \cdot \frac{a}{180} \pi$

$l = d \cdot \frac{a}{180} \pi$

$r = c-d$

また、$c = d + r$ より、$d = c - r$ であるから、

$r = c-d$となる

$Q = \frac{1}{2}c \cdot \frac{a}{180} \pi c - \frac{1}{2}d \cdot \frac{a}{180} \pi d$

$= \frac{1}{2}c \cdot m - \frac{1}{2}d \cdot l$

$= \frac{1}{2}cm - \frac{1}{2}dl = \frac{1}{2}(cm - dl)$

$= \frac{1}{2}((d+r)m - dl) = \frac{1}{2}(dm + rm - dl)$

$= \frac{1}{2}(r m + d (m - l)

$Q=\frac{1}{2}r(m+l)$

3. 最終的な答え

$Q = \frac{1}{2}r(l+m)$