三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=5$, $\cos A = -\frac{1}{5}$である。 (1) 三角形ABCの面積を求める。 (2) 辺BCの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=5$, $\cos A = -\frac{1}{5}$である。

(1) 三角形ABCの面積を求める。

(2) 辺BCの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

まず、$\sin A$の値を求める。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$0 < A < \pi$であるので、$\sin A > 0$である。

$\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 4\sqrt{6}$

(2) 辺BCの長さを求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{5}) = 16 + 25 + 8 = 49$

$BC > 0$より、

$BC = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{6}$

(2) 7