3点 $(1,2,3)$, $(3,4,1)$, $(0,3,8)$ を通る平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 $(1,2,3)$, $(3,4,1)$, $(0,3,8)$ を通る平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

3点を通る平面の方程式を求めるには、まず平面上の2つのベクトルを求める。

点$(1,2,3)$を始点とするベクトルを考えると、

$\vec{a} = (3,4,1) - (1,2,3) = (2,2,-2)$

$\vec{b} = (0,3,8) - (1,2,3) = (-1,1,5)$

次に、これらのベクトルに垂直なベクトル（法線ベクトル）$\vec{n}$を求める。$\vec{n} = (A, B, C)$とする。

$\vec{n}$は$\vec{a}$と$\vec{b}$の両方に垂直なので、内積は0になる。

$\vec{n} \cdot \vec{a} = 2A + 2B - 2C = 0$

$\vec{n} \cdot \vec{b} = -A + B + 5C = 0$

最初の式から $A + B - C = 0$ つまり $A = C - B$が得られる。

これを2番目の式に代入すると、

$-(C - B) + B + 5C = 0$

$-C + B + B + 5C = 0$

$2B + 4C = 0$

$B = -2C$

よって、$A = C - (-2C) = 3C$

したがって、$\vec{n} = (3C, -2C, C)$ となり、C=1とすれば、$\vec{n} = (3,-2,1)$となる。

平面の方程式は、$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$で与えられる。

点$(1,2,3)$を$(x_0, y_0, z_0)$として、

$3(x-1) - 2(y-2) + (z-3) = 0$

$3x - 3 - 2y + 4 + z - 3 = 0$

$3x - 2y + z - 2 = 0$

$3x - 2y + z = 2$

3. 最終的な答え

$3x - 2y + z = 2$