点Oを中心とする半径3の円の内部に点Pがある。Pを通る円Oの弦ABについて、$PA \cdot PB = 2$であるとき、線分OPの長さを求める問題。

幾何学方べきの定理線分の長さ
2025/7/22

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径3の円の内部に点Pがある。Pを通る円Oの弦ABについて、PAPB=2PA \cdot PB = 2であるとき、線分OPの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。点Pを通り円の中心Oを通る直線を引く。この直線と円の交点をそれぞれC, Dとする。このとき、CD=2r=6CD = 2r = 6となる。ここで、OP=xOP = xとおくと、PC=rx=3xPC = r - x = 3 - x, PD=r+x=3+xPD = r + x = 3 + xとなる。
方べきの定理より、PAPB=PCPDPA \cdot PB = PC \cdot PDが成り立つ。
問題文より、PAPB=2PA \cdot PB = 2なので、PCPD=2PC \cdot PD = 2となる。
PC=3xPC = 3 - x, PD=3+xPD = 3 + xを代入して、(3x)(3+x)=2(3-x)(3+x) = 2を解く。
(3x)(3+x)=9x2=2(3-x)(3+x) = 9 - x^2 = 2
x2=92=7x^2 = 9 - 2 = 7
x=7x = \sqrt{7}
よって、OP=7OP = \sqrt{7}となる。

3. 最終的な答え

7\sqrt{7}

「幾何学」の関連問題

不等式 $4x^2 - 16y^2 + 4 > 0$ で表される領域を図示する問題です。

不等式双曲線領域図示
2025/7/26

75°の角を45°と30°の和として作図する手順が1から4で示されている。各手順を説明し、最後に$\angle FOA = 75^\circ$ であることを示す。

角度作図角の二等分線角度計算
2025/7/26

ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 ...

ベクトル外積スカラー三重積平行四辺形平行六面体
2025/7/26

2点 $F(0, 8)$と$F'(0, -8)$からの距離の和が20である楕円の方程式を求めます。楕円上の点を$P(x, y)$とします。

楕円距離方程式座標平面
2025/7/26

2点 $F(0, 8)$ と $F'(0, -8)$ からの距離の和が 20 である楕円の中心 $P(x, y)$ を求める問題です。

楕円焦点中心座標
2025/7/26

漸近線が $y = \pm 2x$ であり、点 $(3, 0)$ を通る双曲線の方程式を求める問題です。

双曲線漸近線方程式
2025/7/26

中心がx軸上にあり、原点O(0,0)と点D(8,12)を通る円の方程式を求める問題です。

円の方程式座標中心
2025/7/26

図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、$\angle ABC = 120^\circ$, $\angle BAC = 30^\circ$, $AB = 6$, $BC =...

角度三角形正弦定理直角三角形
2025/7/26

図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。図には、線分ACの長さが6、線分BCの長さが$\sqrt{3}$、線分CDの長さが$3\sqrt{5}$、$\angle BAC=30^{\...

三角形角度正弦定理ピタゴラスの定理三角比
2025/7/26

図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。与えられている情報は、辺の長さ $AB = \sqrt{21}, AD = \sqrt{6}, CD = \sqrt{2}, AC = \s...

角度三角形余弦定理四角形
2025/7/26