与えられた行列のランクを求めます。行列は $ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求めます。行列は

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 1 & 0 & -1 \\

-1 & 1 & 0 & -1 \\

1 & -1 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

行列のランクは、線形独立な行ベクトルの最大数（または線形独立な列ベクトルの最大数）として定義されます。行列のランクを求めるには、行基本変形（または列基本変形）を行って、行列を階段行列（または簡約階段行列）に変形し、ゼロでない行の数を数えます。

与えられた行列を$A$とします。

$$

A = \begin{pmatrix}

-1 & 1 & 0 & -1 \\

-1 & 1 & 0 & -1 \\

1 & -1 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

1. 2行目から1行目を引きます。（R2 -> R2 - R1)

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 1 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & -1 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 3行目に1行目を足します。（R3 -> R3 + R1)

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 1 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

3. 1行目に-1を掛けます。(R1 -> -R1)

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

階段行列には1つの非ゼロの行があります。したがって、行列のランクは1です。

3. 最終的な答え

1