与えられた4x4行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ が正則かどうかを判定し、正則である場合は逆行列を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ が正則かどうかを判定し、正則である場合は逆行列を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

まず、行列$A$の行列式を計算します。行列式が0でなければ$A$は正則であり、逆行列を持ちます。行列式を計算するために、余因子展開を利用します。3行目を見ると、0, 0, -1, 1となっているので、3行目について余因子展開を行うのが計算が楽です。

$det(A) = 0 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + (-1) \cdot C_{33} + 1 \cdot C_{34} = -C_{33} + C_{34}$

ここで、$C_{ij}$は$(i, j)$成分に対する余因子です。

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (3 - 2) - 0 + 0 = 1$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = - [1 \cdot (0 - 1) - 0 + 1 \cdot (1 - 1)] = -(-1) = 1$

したがって、$det(A) = -1 + 1 = 0$ となります。

行列式が0なので、行列$A$は正則ではありません。

3. 最終的な答え

Aは正則ではない。