$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(k+1)(k+2)$ を展開します。

$(k+1)(k+2) = k^2 + 3k + 2$

次に、シグマの性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2$

ここで、以下の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数)

これらの公式を適用すると、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$3\sum_{k=1}^{n} k = 3\frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{2} + 2n$

通分して整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{9n(n+1)}{6} + \frac{12n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 12n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 12]}{6} = \frac{n[2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 + 12]}{6} = \frac{n[2n^2 + 12n + 22]}{6} = \frac{2n[n^2 + 6n + 11]}{6} = \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n^2+6n+11)}{3}$