不等式 $\frac{4x}{2x-1} \geq 2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{4x}{2x-1} \geq 2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$2x-1$ が正か負かで場合分けが必要ですが、両辺に $(2x-1)^2$ を掛けることで場合分けを回避できます。$(2x-1)^2$ は常に正であるため、不等号の向きは変わりません。ただし、$x=\frac{1}{2}$ は $2x-1=0$ となり、分母が0になるため除外する必要があります。

$\frac{4x}{2x-1} \geq 2x$

両辺に $(2x-1)^2$ を掛けると

$4x(2x-1) \geq 2x(2x-1)^2$

$4x(2x-1) - 2x(2x-1)^2 \geq 0$

$2x(2x-1)[2 - (2x-1)] \geq 0$

$2x(2x-1)(2-2x+1) \geq 0$

$2x(2x-1)(3-2x) \geq 0$

$x(2x-1)(3-2x) \geq 0$

$x(2x-1)(-2x+3) \geq 0$

$-2x(2x-1)(x-\frac{3}{2}) \geq 0$

$x(2x-1)(x-\frac{3}{2}) \leq 0$

$x(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2}) \leq 0$

不等式の解を求めるために、$x(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2})=0$ となる $x$ の値を求めます。

$x=0, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

これらの値を境界として、数直線をいくつかの区間に分割し、各区間で $x(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2})$ の符号を調べます。

- $x<0$ のとき、各因数の符号は $x<0$, $x-\frac{1}{2}<0$, $x-\frac{3}{2}<0$ となり、積は負になります。

- $0<x<\frac{1}{2}$ のとき、各因数の符号は $x>0$, $x-\frac{1}{2}<0$, $x-\frac{3}{2}<0$ となり、積は正になります。

- $\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$ のとき、各因数の符号は $x>0$, $x-\frac{1}{2}>0$, $x-\frac{3}{2}<0$ となり、積は負になります。

- $x>\frac{3}{2}$ のとき、各因数の符号は $x>0$, $x-\frac{1}{2}>0$, $x-\frac{3}{2}>0$ となり、積は正になります。

したがって、$x(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2}) \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は $x \leq 0$ または $\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$ です。ただし、$x=\frac{1}{2}$ のとき元の不等式の分母が0になるので、$x=\frac{1}{2}$ は解に含まれません。

3. 最終的な答え

$x \leq 0, \frac{1}{2} < x \leq \frac{3}{2}$