$\sum_{k=1}^{n} (2^k + 2k)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2^k + 2k)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた和を2つの和に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (2^k + 2k) = \sum_{k=1}^{n} 2^k + \sum_{k=1}^{n} 2k$

それぞれの和を計算します。

まず、等比数列の和の公式を用いて $\sum_{k=1}^{n} 2^k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

次に、$\sum_{k=1}^{n} 2k$ を計算します。これは等差数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) = n^2 + n$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (2^k + 2k) = (2^{n+1} - 2) + (n^2 + n) = 2^{n+1} + n^2 + n - 2$

3. 最終的な答え

$2^{n+1} + n^2 + n - 2$