行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -\epsilon \\ -\epsilon & 1 \end{pmatrix}$ ($\epsilon$は実数)の固有値と固有ベクトルを求め、固有ベクトルを規格化する。

代数学線形代数固有値固有ベクトル行列
2025/7/26
## 問題1

1. 問題の内容

行列 A=(1ϵϵ1)A = \begin{pmatrix} 1 & -\epsilon \\ -\epsilon & 1 \end{pmatrix}ϵ\epsilonは実数)の固有値と固有ベクトルを求め、固有ベクトルを規格化する。

2. 解き方の手順

まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。固有方程式は、det(AλI)=0det(A - \lambda I) = 0 で与えられます。ここで、IIは単位行列、λ\lambdaは固有値です。
AλI=(1λϵϵ1λ)A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -\epsilon \\ -\epsilon & 1-\lambda \end{pmatrix}
det(AλI)=(1λ)2(ϵ)2=(1λ)2ϵ2=0det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 - (-\epsilon)^2 = (1-\lambda)^2 - \epsilon^2 = 0
(1λ)2=ϵ2(1-\lambda)^2 = \epsilon^2
1λ=±ϵ1-\lambda = \pm \epsilon
λ=1±ϵ\lambda = 1 \pm \epsilon
よって、固有値は λ1=1+ϵ\lambda_1 = 1+\epsilonλ2=1ϵ\lambda_2 = 1-\epsilon です。
次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。
固有値 λ1=1+ϵ\lambda_1 = 1+\epsilon のとき、(Aλ1I)v1=0(A - \lambda_1 I)v_1 = 0 を満たすベクトル v1v_1 を求めます。
(ϵϵϵϵ)(xy)=(00)\begin{pmatrix} -\epsilon & -\epsilon \\ -\epsilon & -\epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
ϵxϵy=0-\epsilon x - \epsilon y = 0
x+y=0x + y = 0
y=xy = -x
よって、固有ベクトルは v1=(xx)=x(11)v_1 = \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} となります。規格化すると、
v1=12+(1)2=2||v_1|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
v1=12(11)v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
固有値 λ2=1ϵ\lambda_2 = 1-\epsilon のとき、(Aλ2I)v2=0(A - \lambda_2 I)v_2 = 0 を満たすベクトル v2v_2 を求めます。
(ϵϵϵϵ)(xy)=(00)\begin{pmatrix} \epsilon & -\epsilon \\ -\epsilon & \epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
ϵxϵy=0\epsilon x - \epsilon y = 0
xy=0x - y = 0
x=yx = y
よって、固有ベクトルは v2=(xx)=x(11)v_2 = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} となります。規格化すると、
v2=12+12=2||v_2|| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
v2=12(11)v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

固有値: λ1=1+ϵ\lambda_1 = 1+\epsilon, λ2=1ϵ\lambda_2 = 1-\epsilon
固有ベクトル(規格化済): v1=12(11)v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v2=12(11)v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
## 問題2

1. 問題の内容

行列 A=(1321)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} の固有値と固有ベクトルを求め、求めた固有ベクトルが直交しないことを示す。

2. 解き方の手順

まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。
det(AλI)=(1λ)(1λ)(3)(2)=0det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(-1-\lambda) - (3)(2) = 0
1λ+λ+λ26=0-1-\lambda+\lambda+\lambda^2 - 6 = 0
λ27=0\lambda^2 - 7 = 0
λ=±7\lambda = \pm\sqrt{7}
よって、固有値は λ1=7\lambda_1 = \sqrt{7}λ2=7\lambda_2 = -\sqrt{7} です。
次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。
固有値 λ1=7\lambda_1 = \sqrt{7} のとき、(Aλ1I)v1=0(A - \lambda_1 I)v_1 = 0 を満たすベクトル v1v_1 を求めます。
(173217)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 1-\sqrt{7} & 3 \\ 2 & -1-\sqrt{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
(17)x+3y=0(1-\sqrt{7})x + 3y = 0
2x+(17)y=02x + (-1-\sqrt{7})y = 0
最初の式から 3y=(71)x3y = (\sqrt{7}-1)x
y=713xy = \frac{\sqrt{7}-1}{3}x
よって、固有ベクトルは v1=(x713x)=x(371)v_1 = \begin{pmatrix} x \\ \frac{\sqrt{7}-1}{3}x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{7}-1 \end{pmatrix} となります。
固有値 λ2=7\lambda_2 = -\sqrt{7} のとき、(Aλ2I)v2=0(A - \lambda_2 I)v_2 = 0 を満たすベクトル v2v_2 を求めます。
(1+7321+7)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 1+\sqrt{7} & 3 \\ 2 & -1+\sqrt{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
(1+7)x+3y=0(1+\sqrt{7})x + 3y = 0
2x+(1+7)y=02x + (-1+\sqrt{7})y = 0
最初の式から 3y=(1+7)x3y = -(1+\sqrt{7})x
y=1+73xy = -\frac{1+\sqrt{7}}{3}x
よって、固有ベクトルは v2=(x1+73x)=x(317)v_2 = \begin{pmatrix} x \\ -\frac{1+\sqrt{7}}{3}x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 3 \\ -1-\sqrt{7} \end{pmatrix} となります。
固有ベクトルが直交しないことを示すために、内積を計算します。
v1v2=(3)(3)+(71)(17)=9+(77+1+7)=96=30v_1 \cdot v_2 = (3)(3) + (\sqrt{7}-1)(-1-\sqrt{7}) = 9 + (-\sqrt{7}-7+1+\sqrt{7}) = 9 - 6 = 3 \neq 0
内積が0でないので、固有ベクトルは直交しません。

3. 最終的な答え

固有値: λ1=7\lambda_1 = \sqrt{7}, λ2=7\lambda_2 = -\sqrt{7}
固有ベクトル: v1=(371)v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{7}-1 \end{pmatrix}, v2=(317)v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1-\sqrt{7} \end{pmatrix}
固有ベクトルは直交しない。
## 問題3

1. 問題の内容

回転行列 U=(cosθsinθsinθcosθ)U = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} の固有値と固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。
det(UλI)=(cosθλ)2(sinθ)(sinθ)=0det(U - \lambda I) = (\cos \theta - \lambda)^2 - (-\sin \theta)(\sin \theta) = 0
(cosθλ)2+sin2θ=0(\cos \theta - \lambda)^2 + \sin^2 \theta = 0
cos2θ2λcosθ+λ2+sin2θ=0\cos^2 \theta - 2\lambda \cos \theta + \lambda^2 + \sin^2 \theta = 0
λ22λcosθ+1=0\lambda^2 - 2\lambda \cos \theta + 1 = 0
λ=2cosθ±4cos2θ42=cosθ±cos2θ1=cosθ±sin2θ=cosθ±isinθ\lambda = \frac{2 \cos \theta \pm \sqrt{4\cos^2 \theta - 4}}{2} = \cos \theta \pm \sqrt{\cos^2 \theta - 1} = \cos \theta \pm \sqrt{-\sin^2 \theta} = \cos \theta \pm i \sin \theta
よって、固有値は λ1=cosθ+isinθ=eiθ\lambda_1 = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}λ2=cosθisinθ=eiθ\lambda_2 = \cos \theta - i \sin \theta = e^{-i\theta} です。
次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。
固有値 λ1=cosθ+isinθ\lambda_1 = \cos \theta + i \sin \theta のとき、(Uλ1I)v1=0(U - \lambda_1 I)v_1 = 0 を満たすベクトル v1v_1 を求めます。
(isinθsinθsinθisinθ)(xy)=(00)\begin{pmatrix} -i \sin \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -i \sin \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
isinθxsinθy=0-i \sin \theta x - \sin \theta y = 0
sinθxisinθy=0\sin \theta x - i \sin \theta y = 0
y=ixy = -ix
よって、固有ベクトルは v1=(xix)=x(1i)v_1 = \begin{pmatrix} x \\ -ix \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} となります。
固有値 λ2=cosθisinθ\lambda_2 = \cos \theta - i \sin \theta のとき、(Uλ2I)v2=0(U - \lambda_2 I)v_2 = 0 を満たすベクトル v2v_2 を求めます。
(isinθsinθsinθisinθ)(xy)=(00)\begin{pmatrix} i \sin \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & i \sin \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
isinθxsinθy=0i \sin \theta x - \sin \theta y = 0
y=ixy = ix
よって、固有ベクトルは v2=(xix)=x(1i)v_2 = \begin{pmatrix} x \\ ix \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} となります。

3. 最終的な答え

固有値: λ1=cosθ+isinθ=eiθ\lambda_1 = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}, λ2=cosθisinθ=eiθ\lambda_2 = \cos \theta - i \sin \theta = e^{-i\theta}
固有ベクトル: v1=(1i)v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}, v2=(1i)v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}

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