行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -\epsilon \\ -\epsilon & 1 \end{pmatrix}$ ($\epsilon$は実数)の固有値と固有ベクトルを求め、固有ベクトルを規格化する。
2025/7/26
## 問題1
1. 問題の内容
行列 (は実数)の固有値と固有ベクトルを求め、固有ベクトルを規格化する。
2. 解き方の手順
まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。固有方程式は、 で与えられます。ここで、は単位行列、は固有値です。
よって、固有値は と です。
次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。
固有値 のとき、 を満たすベクトル を求めます。
よって、固有ベクトルは となります。規格化すると、
固有値 のとき、 を満たすベクトル を求めます。
よって、固有ベクトルは となります。規格化すると、
3. 最終的な答え
固有値: ,
固有ベクトル(規格化済): ,
## 問題2
1. 問題の内容
行列 の固有値と固有ベクトルを求め、求めた固有ベクトルが直交しないことを示す。
2. 解き方の手順
まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。
よって、固有値は と です。
次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。
固有値 のとき、 を満たすベクトル を求めます。
最初の式から
よって、固有ベクトルは となります。
固有値 のとき、 を満たすベクトル を求めます。
最初の式から
よって、固有ベクトルは となります。
固有ベクトルが直交しないことを示すために、内積を計算します。
内積が0でないので、固有ベクトルは直交しません。
3. 最終的な答え
固有値: ,
固有ベクトル: ,
固有ベクトルは直交しない。
## 問題3
1. 問題の内容
回転行列 の固有値と固有ベクトルを求める。
2. 解き方の手順
まず、固有方程式を解いて固有値を求めます。
よって、固有値は と です。
次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。
固有値 のとき、 を満たすベクトル を求めます。
よって、固有ベクトルは となります。
固有値 のとき、 を満たすベクトル を求めます。
よって、固有ベクトルは となります。
3. 最終的な答え
固有値: ,
固有ベクトル: ,