2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点$(1, 1)$ を通る双曲線を表す関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めよ。

1. 問題の内容

2直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点$(1, 1)$ を通る双曲線を表す関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=\frac{ax+b}{cx+d}$ の形を、漸近線が $x=3$, $y=2$ となるように変形します。

$y = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d}$

ここで、$x = -\frac{d}{c}$ が垂直漸近線、$y = \frac{a}{c}$ が水平漸近線になるので、

$-\frac{d}{c} = 3$ より $d = -3c$

$\frac{a}{c} = 2$ より $a = 2c$

これらを元の式に代入すると、

$y = \frac{2cx+b}{cx-3c}$

$c$ で割って

$y = \frac{2x+\frac{b}{c}}{x-3}$

$\frac{b}{c}$ を $k$ とおくと、

$y = \frac{2x+k}{x-3}$

このグラフは点 $(1, 1)$ を通るので、$x=1, y=1$ を代入すると、

$1 = \frac{2(1)+k}{1-3} = \frac{2+k}{-2}$

$-2 = 2+k$

$k = -4$

したがって、求める関数は

$y = \frac{2x-4}{x-3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$