不等式 $\frac{1}{x-1} < x - 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x - 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$\frac{1}{x-1} - (x-1) < 0$

通分して、

$\frac{1 - (x-1)^2}{x-1} < 0$

$\frac{1 - (x^2 - 2x + 1)}{x-1} < 0$

$\frac{1 - x^2 + 2x - 1}{x-1} < 0$

$\frac{-x^2 + 2x}{x-1} < 0$

$\frac{-x(x-2)}{x-1} < 0$

両辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを変えます。

$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

この不等式を満たす $x$ を求めるために、数直線を書きます。

$x = 0, 1, 2$ で符号が変わります。

- $x < 0$ のとき、$\frac{(-)(-)}{(-)} = (-) < 0$

- $0 < x < 1$ のとき、$\frac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$

- $1 < x < 2$ のとき、$\frac{(+)(-)}{(+)} = (-) < 0$

- $x > 2$ のとき、$\frac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$

したがって、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ となるのは、$0 < x < 1$ または $x > 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$