$a = 3 + \sqrt{15}$、$b = |a^2 - 7a|$とする。 (i) $a^2 - 7a$ の値を求めよ。 (ii) $\frac{a}{b}$ の値を求めよ。 (iii) $-b^2 < abx - a^2 < b^2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = 3 + \sqrt{15}$、$b = |a^2 - 7a|$とする。

(i) $a^2 - 7a$ の値を求めよ。

(ii) $\frac{a}{b}$ の値を求めよ。

(iii) $-b^2 < abx - a^2 < b^2$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $a = 3 + \sqrt{15}$ より、

$a^2 = (3 + \sqrt{15})^2 = 9 + 6\sqrt{15} + 15 = 24 + 6\sqrt{15}$

$7a = 7(3 + \sqrt{15}) = 21 + 7\sqrt{15}$

よって、

$a^2 - 7a = (24 + 6\sqrt{15}) - (21 + 7\sqrt{15}) = 3 - \sqrt{15}$

(ii) $b = |a^2 - 7a| = |3 - \sqrt{15}|$

$3 = \sqrt{9}$, $\sqrt{15} > \sqrt{9}$ より $3 < \sqrt{15}$ なので、$3 - \sqrt{15} < 0$

よって、$b = |3 - \sqrt{15}| = \sqrt{15} - 3$

$\frac{a}{b} = \frac{3 + \sqrt{15}}{\sqrt{15} - 3} = \frac{(3 + \sqrt{15})(\sqrt{15} + 3)}{(\sqrt{15} - 3)(\sqrt{15} + 3)} = \frac{(3 + \sqrt{15})^2}{15 - 9} = \frac{9 + 6\sqrt{15} + 15}{6} = \frac{24 + 6\sqrt{15}}{6} = 4 + \sqrt{15}$

(iii) $-b^2 < abx - a^2 < b^2$

$-b^2 + a^2 < abx < b^2 + a^2$

$x$ の範囲を求めるために、まず $ab$ の符号を確認する。

$a = 3 + \sqrt{15} > 0$

$b = \sqrt{15} - 3 > 0$

よって $ab > 0$

$\frac{-b^2 + a^2}{ab} < x < \frac{b^2 + a^2}{ab}$

$a^2 = (3 + \sqrt{15})^2 = 24 + 6\sqrt{15}$

$b^2 = (\sqrt{15} - 3)^2 = 15 - 6\sqrt{15} + 9 = 24 - 6\sqrt{15}$

$ab = (3 + \sqrt{15})(\sqrt{15} - 3) = 15 - 9 = 6$

$\frac{-b^2 + a^2}{ab} = \frac{-(24 - 6\sqrt{15}) + (24 + 6\sqrt{15})}{6} = \frac{12\sqrt{15}}{6} = 2\sqrt{15}$

$\frac{b^2 + a^2}{ab} = \frac{(24 - 6\sqrt{15}) + (24 + 6\sqrt{15})}{6} = \frac{48}{6} = 8$

よって、$2\sqrt{15} < x < 8$

3. 最終的な答え

(i) $3 - \sqrt{15}$

(ii) $4 + \sqrt{15}$

(iii) $2\sqrt{15} < x < 8$