与えられた2次方程式の解を求め、それらを用いて不等式を解く問題や、与えられた解から2次方程式の係数を求める問題、絶対値を含む不等式を解く問題です。具体的には以下の通りです。 3. 2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解を求め、その解を用いて $n < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < n + 1$ を満たす整数 $n$ の値を求める。 4. 2次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の2つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、$a, b$ の値を求める。 5. 2次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。このとき、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ の解を求める。 6. 不等式 $|1 - 4x| < 5$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式の解を求め、それらを用いて不等式を解く問題や、与えられた解から2次方程式の係数を求める問題、絶対値を含む不等式を解く問題です。具体的には以下の通りです。

3. 2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解を求め、その解を用いて $n < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < n + 1$ を満たす整数 $n$ の値を求める。

4. 2次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の2つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

5. 2次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。このとき、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ の解を求める。

6. 不等式 $|1 - 4x| < 5$ の解を求める。

2. 解き方の手順

3. 2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解を求める。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 + 2.236}{2} \approx 2.618$

したがって、$n < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < n + 1$ を満たす整数 $n$ は 2。

4. 2次方程式 $ax^2 + bx - 6 = 0$ の2つの解が $x = 3, -\frac{2}{3}$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

解と係数の関係より、2つの解の和は $-\frac{b}{a}$、積は $\frac{-6}{a}$。

$3 + (-\frac{2}{3}) = \frac{7}{3} = -\frac{b}{a}$

$3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2 = \frac{-6}{a}$

$-2 = \frac{-6}{a}$ より、 $a = 3$。

$\frac{7}{3} = -\frac{b}{3}$ より、$b = -7$。

5. 2次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。このとき、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$

$\alpha = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, \beta = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$

$\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$

$(\alpha - \beta) x \leq \alpha + \beta$

$\alpha - \beta = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} - \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} = -\sqrt{10}$

$\alpha + \beta = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} + \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} = -2$

$-\sqrt{10} x \leq -2$

$x \geq \frac{-2}{-\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

6. 不等式 $|1 - 4x| < 5$ の解を求める。

$-5 < 1 - 4x < 5$

$-6 < -4x < 4$

$\frac{-6}{-4} > x > \frac{4}{-4}$

$\frac{3}{2} > x > -1$

$-1 < x < \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

シ: 3

ス: 5

セ: 2

ソ: 2

タ: 3

チ: -7

ツ: 7

テ: ≧

ト: 5分のルート10

ヌネ: -1

ハ: 2分の3