与えられた2次不等式 $-2x^2 + 5x + 1 \leq 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $-2x^2 + 5x + 1 \leq 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、$x^2$ の係数を正にします。

$2x^2 - 5x - 1 \geq 0$

次に、2次方程式 $2x^2 - 5x - 1 = 0$ を解きます。解の公式を用いて、$x$ を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=2$, $b=-5$, $c=-1$ なので、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

したがって、$2x^2 - 5x - 1 = 0$ の解は $x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$ と $x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4}$ です。

$2x^2 - 5x - 1 \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めるには、2次関数のグラフを描いて考える方法があります。このグラフは下に凸の放物線であり、$x$ 軸との交点が $x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4}$ と $x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$ です。

したがって、$2x^2 - 5x - 1 \geq 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x \leq \frac{5 - \sqrt{33}}{4}$ または $x \geq \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$x \leq \frac{5 - \sqrt{33}}{4}, \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \leq x$