次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int x \sin x dx$ (2) $\int \frac{dx}{x \log x}$ (3) $\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x \sin x dx$

(2) $\int \frac{dx}{x \log x}$

(3) $\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \sin x dx$

部分積分法を用います。$u=x$, $dv=\sin x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

部分積分法の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int \frac{dx}{x \log x}$

置換積分法を用います。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{dx}{x \log x} = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$

(3) $\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

置換積分法を用います。$u = \sin^{-1} x$ とおくと、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} (\sin^{-1} x)^2 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int \frac{dx}{x \log x} = \log |\log x| + C$

(3) $\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{2} (\sin^{-1} x)^2 + C$