問題2では、$\sin \frac{7}{6}\pi$ と $\tan \frac{5}{3}\pi$ の値を求めます。 問題3では、$0 \le \theta < \pi$ の範囲で、$2\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = 1$ と $2\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -1$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題2では、$\sin \frac{7}{6}\pi$ と $\tan \frac{5}{3}\pi$ の値を求めます。

問題3では、$0 \le \theta < \pi$ の範囲で、$2\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = 1$ と $2\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -1$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

問題2:

(1) $\sin \frac{7}{6}\pi$ を求めます。$\frac{7}{6}\pi = \pi + \frac{\pi}{6}$ なので、$\sin \frac{7}{6}\pi = \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$です。

(2) $\tan \frac{5}{3}\pi$ を求めます。$\frac{5}{3}\pi = 2\pi - \frac{\pi}{3}$ なので、$\tan \frac{5}{3}\pi = \tan (2\pi - \frac{\pi}{3}) = \tan (-\frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$です。

問題3:

(1) $2\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = 1$ を解きます。まず、$\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{1}{2}$となります。$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ですが、$0 \le \theta < \pi$の条件を満たすように考えます。 $\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{\pi}{6}$より、$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}$ となり、範囲外なので不適切です。$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{5\pi}{6}$より、$\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi - 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$となります。これは範囲内なので適切です。

(2) $2\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -1$ を解きます。まず、$\cos(\frac{\pi}{4} + \theta) = -\frac{1}{2}$となります。$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ですが、$0 \le \theta < \pi$の条件を満たすように考えます。$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{2\pi}{3}$より、$\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$となります。これは範囲内なので適切です。$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{4\pi}{3}$より、$\theta = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$となりますが、これは範囲外なので不適切です。

3. 最終的な答え

問題2:

(1) $\sin \frac{7}{6}\pi = -\frac{1}{2}$

(2) $\tan \frac{5}{3}\pi = -\sqrt{3}$

問題3:

(1) $\theta = \frac{7\pi}{12}$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{12}$