問題3では、$0 \le \theta < \pi$ の範囲で、以下の2つの三角関数の方程式を満たす $\theta$ の値を求めます。 (1) $2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = 1$ (2) $2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = -1$ 問題4では、以下の式を簡単にします。 $\cos\theta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right)$

1. 問題の内容

問題3では、$0 \le \theta < \pi$ の範囲で、以下の2つの三角関数の方程式を満たす $\theta$ の値を求めます。

(1) $2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = 1$

(2) $2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = -1$

問題4では、以下の式を簡単にします。

$\cos\theta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right)$

2. 解き方の手順

問題3

(1) $2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = 1$ の場合:

まず、両辺を2で割ります。

$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{1}{2}$

$\sin$ の値が $\frac{1}{2}$ となる角度は $\frac{\pi}{6}$ と $\frac{5\pi}{6}$ です。したがって、

$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{5\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$

$\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi - 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

条件 $0 \le \theta < \pi$ を満たすのは $\theta = \frac{7\pi}{12}$ です。

(2) $2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = -1$ の場合:

まず、両辺を2で割ります。

$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = -\frac{1}{2}$

$\cos$ の値が $-\frac{1}{2}$ となる角度は $\frac{2\pi}{3}$ と $\frac{4\pi}{3}$ です。したがって、

$\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{4} + \theta = \frac{4\pi}{3}$

$\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

$\theta = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$

条件 $0 \le \theta < \pi$ を満たすのは $\theta = \frac{5\pi}{12}$ です。

問題4

$\cos\theta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + \cos(\pi + \theta) + \sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right)$

三角関数の公式を利用します。

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$

$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$

$\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right) = -\cos\theta$

よって、

$\cos\theta + \cos\theta - \cos\theta - \cos\theta = 0$

3. 最終的な答え

問題3

(1) $\theta = \frac{7\pi}{12}$

(2) $\theta = \frac{5\pi}{12}$

問題4

$0$