$a$ を正の実数とします。関数 $f(x) = x^2 e^{-ax}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の極値を求めよ。 (2) $b$ を実数とする。関数 $g(x) = f(x) - bx$ が正の極小値をもつような $b$ の範囲を $a$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とします。関数 $f(x) = x^2 e^{-ax}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の極値を求めよ。

(2) $b$ を実数とする。関数 $g(x) = f(x) - bx$ が正の極小値をもつような $b$ の範囲を $a$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の極値を求める。

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 2x e^{-ax} + x^2 (-a) e^{-ax} = e^{-ax}(2x - ax^2) = xe^{-ax}(2-ax)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-ax} > 0$ なので、$x = 0$ または $2-ax = 0$ より $x = \frac{2}{a}$。

$x < 0$ では $f'(x) < 0$

$0 < x < \frac{2}{a}$ では $f'(x) > 0$

$x > \frac{2}{a}$ では $f'(x) < 0$

したがって、$x=0$ で極小値、 $x=\frac{2}{a}$ で極大値をとる。

$f(0) = 0^2 e^{-a(0)} = 0$

$f\left(\frac{2}{a}\right) = \left(\frac{2}{a}\right)^2 e^{-a\left(\frac{2}{a}\right)} = \frac{4}{a^2} e^{-2} = \frac{4}{a^2 e^2}$

(2) $g(x) = f(x) - bx$ が正の極小値を持つような $b$ の範囲を求める。

$g(x) = x^2 e^{-ax} - bx$

$g'(x) = f'(x) - b = xe^{-ax}(2-ax) - b$

$g'(x) = 0$ となる $x$ で極値を持つ。

$xe^{-ax}(2-ax) = b$

$x(2-ax) = be^{ax}$

$g'(0) = 0e^{-0} (2-0) - b = -b$

$g'(x) = 0$ となる正の解 $x = \alpha$ を持つとする。

$g'(\alpha) = 0$ かつ $g(\alpha) > 0$ が条件。

$g'(\alpha) = \alpha e^{-a\alpha}(2 - a\alpha) - b = 0$

$g(\alpha) = \alpha^2 e^{-a\alpha} - b\alpha > 0$

$b = \alpha e^{-a\alpha}(2-a\alpha)$ を代入して

$\alpha^2 e^{-a\alpha} - \alpha e^{-a\alpha}(2-a\alpha) \alpha > 0$

$\alpha^2 e^{-a\alpha} - \alpha^2 e^{-a\alpha} (2-a\alpha) > 0$

$\alpha^2 e^{-a\alpha} (1 - (2-a\alpha)) > 0$

$\alpha^2 e^{-a\alpha} (a\alpha - 1) > 0$

$\alpha > 0$, $e^{-a\alpha} > 0$ より、$a\alpha - 1 > 0$ となれば良い。

$a\alpha > 1$ つまり $\alpha > \frac{1}{a}$

$b = xe^{-ax}(2-ax)$ に対して、$x>\frac{1}{a}$ の範囲で解を持つような $b$ の範囲を求める。

$h(x) = xe^{-ax}(2-ax)$ とおくと

$h'(x) = e^{-ax}(2-ax) + x(-a)e^{-ax} + xe^{-ax}(-a) = e^{-ax}(2-ax-ax-ax) = e^{-ax}(2-3ax)$.

$h'(x)=0$ となるのは $x=\frac{2}{3a}$ の時。$h(\frac{2}{3a}) = \frac{2}{3a}e^{-\frac{2}{3}}(2-\frac{2}{3})=\frac{2}{3a}e^{-\frac{2}{3}}(\frac{4}{3})=\frac{8}{9ae^{\frac{2}{3}}}$

$\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$

$h(\frac{1}{a}) = \frac{1}{a} e^{-1} (2-1) = \frac{1}{ae}$

$g(x)$ が正の極小値を持つためには $0<b<\frac{8}{9ae^{2/3}}$

3. 最終的な答え

(1) 極小値: $f(0)=0$, 極大値: $f\left(\frac{2}{a}\right)=\frac{4}{a^2e^2}$

(2) $0 < b < \frac{4}{a e^2}$