次の3つの積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ (2) $\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx$ (3) $\int \sin^3 x dx$

1. 問題の内容

次の3つの積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$

(2) $\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx$

(3) $\int \sin^3 x dx$

2. 解き方の手順

(1)

置換積分を行います。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x}dx$ となります。積分範囲も変換する必要があります。

$x=1$ のとき $u = \log 1 = 0$、

$x=e$ のとき $u = \log e = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

(2)

置換積分を行います。$u = x-1$ とおくと、$x = u+1$、$dx = du$ となります。積分範囲も変換する必要があります。

$x=1$ のとき $u = 1-1 = 0$、

$x=2$ のとき $u = 2-1 = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (u+1)\sqrt{u} du = \int_{0}^{1} (u^{3/2} + u^{1/2}) du = \left[ \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{6+10}{15} = \frac{16}{15}$

(3)

$\sin^3 x = \sin x \sin^2 x = \sin x (1-\cos^2 x) = \sin x - \sin x \cos^2 x$

$\int \sin^3 x dx = \int (\sin x - \sin x \cos^2 x) dx = \int \sin x dx - \int \sin x \cos^2 x dx$

最初の積分は $\int \sin x dx = -\cos x + C_1$

2つ目の積分は $u=\cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ なので、

$\int \sin x \cos^2 x dx = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} = -\frac{\cos^3 x}{3} + C_2$

したがって、$\int \sin^3 x dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{16}{15}$

(3) $-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$