加法定理または倍角の定理を用いて、以下の式を簡単にせよ。 (1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) + \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$ (2) $\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \sin(\theta + \frac{4\pi}{3})$ (3) $\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta}$

1. 問題の内容

加法定理または倍角の定理を用いて、以下の式を簡単にせよ。

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) + \cos(\theta - \frac{\pi}{6})$

(2) $\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \sin(\theta + \frac{4\pi}{3})$

(3) $\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta}$

2. 解き方の手順

(1) 和積の公式 $\cos x + \cos y = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$ を使う。

$x = \theta + \frac{\pi}{6}, y = \theta - \frac{\pi}{6}$ とすると、

$\frac{x+y}{2} = \theta, \frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6}$

したがって、

$\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) + \cos(\theta - \frac{\pi}{6}) = 2\cos\theta \cos \frac{\pi}{6} = 2\cos\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\cos\theta$

(2) 和積の公式 $\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$ を使う。

$x = \theta + \frac{2\pi}{3}, y = \theta + \frac{4\pi}{3}$ とすると、

$\frac{x+y}{2} = \theta + \pi, \frac{x-y}{2} = -\frac{\pi}{3}$

したがって、

$\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = 2\sin(\theta + \pi) \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2(-\sin\theta) \cdot \frac{1}{2} = -\sin\theta$

(3) 倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ および $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ を使う。

$\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2\theta)}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{2\sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}\cos\theta$

(2) $-\sin\theta$

(3) $\tan\theta$