与えられた3次式 $3x^3 + 9x^2 - 12$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $3x^3 + 9x^2 - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式全体を3でくくり出すことができます。

$3x^3 + 9x^2 - 12 = 3(x^3 + 3x^2 - 4)$

次に、$x^3 + 3x^2 - 4$ を因数分解します。

$x = 1$ を代入すると $1^3 + 3(1^2) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ となり、因数定理より、$x - 1$ を因数に持つことが分かります。

組み立て除法または筆算を用いて、$x^3 + 3x^2 - 4$ を $x - 1$ で割ります。

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4)$

次に、$x^2 + 4x + 4$ を因数分解します。

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2$

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2$

元の式に戻して、

$3x^3 + 9x^2 - 12 = 3(x - 1)(x + 2)^2$

3. 最終的な答え

$3(x - 1)(x + 2)^2$