$x \geq 0$, $y \geq 0$, $3x + 2y = 1$ のとき、$3x^2 + 4y^2$ の最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $3x + 2y = 1$ のとき、$3x^2 + 4y^2$ の最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3x + 2y = 1$ より、$y$ を $x$ で表します。

$2y = 1 - 3x$

$y = \frac{1 - 3x}{2}$

$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ より、

$x \geq 0$ かつ $\frac{1 - 3x}{2} \geq 0$

$x \geq 0$ かつ $1 - 3x \geq 0$

$x \geq 0$ かつ $x \leq \frac{1}{3}$

よって、$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$

$3x^2 + 4y^2$ に $y = \frac{1 - 3x}{2}$ を代入します。

$3x^2 + 4(\frac{1 - 3x}{2})^2 = 3x^2 + 4(\frac{1 - 6x + 9x^2}{4}) = 3x^2 + 1 - 6x + 9x^2 = 12x^2 - 6x + 1$

$f(x) = 12x^2 - 6x + 1$ とおくと、$f(x)$ は下に凸な二次関数です。

$f(x) = 12(x^2 - \frac{1}{2}x) + 1 = 12(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) - 12(\frac{1}{16}) + 1 = 12(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{3}{4} + 1 = 12(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4}$

$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$ の範囲で $f(x)$ の最大値と最小値を考えます。

$f(x)$ は $x = \frac{1}{4}$ で最小値 $\frac{1}{4}$ をとります。

$f(0) = 1$

$f(\frac{1}{3}) = 12(\frac{1}{9}) - 6(\frac{1}{3}) + 1 = \frac{4}{3} - 2 + 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

最大値は $f(0)=1$ で $x=0$のときです。

3. 最終的な答え

$3x^2 + 4y^2$ は $x = \frac{1}{4}$ のとき最小値 $\frac{1}{4}$ をとり、$x = 0$ のとき最大値 $1$ をとる。