(1) 関数 $P = x^2 + 3y^2 + 4x - 6y + 2$ の最小値と、最小値をとる時の $x, y$ の値を求める。 (2) 関数 $Q = x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 4x + 6$ の最小値と、最小値をとる時の $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $P = x^2 + 3y^2 + 4x - 6y + 2$ の最小値と、最小値をとる時の $x, y$ の値を求める。

(2) 関数 $Q = x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 4x + 6$ の最小値と、最小値をとる時の $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P$ を $x$ と $y$ それぞれについて平方完成する。

まず、$x$ について平方完成する。

$P = (x^2 + 4x) + 3y^2 - 6y + 2$

$P = (x^2 + 4x + 4 - 4) + 3y^2 - 6y + 2$

$P = (x + 2)^2 - 4 + 3y^2 - 6y + 2$

$P = (x + 2)^2 + 3y^2 - 6y - 2$

次に、$y$ について平方完成する。

$P = (x + 2)^2 + 3(y^2 - 2y) - 2$

$P = (x + 2)^2 + 3(y^2 - 2y + 1 - 1) - 2$

$P = (x + 2)^2 + 3(y - 1)^2 - 3 - 2$

$P = (x + 2)^2 + 3(y - 1)^2 - 5$

$P$ は $(x + 2)^2 \geq 0$ と $3(y - 1)^2 \geq 0$ なので、$x = -2$ かつ $y = 1$ の時に最小値をとる。

このとき、$P = 0 + 0 - 5 = -5$

(2)

$Q = x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 4x + 6$

$Q$ を $x$ について平方完成する。

$Q = x^2 + (4 - 2y)x + 2y^2 - 2y + 6$

$Q = (x + (2 - y))^2 - (2 - y)^2 + 2y^2 - 2y + 6$

$Q = (x + 2 - y)^2 - (4 - 4y + y^2) + 2y^2 - 2y + 6$

$Q = (x + 2 - y)^2 - 4 + 4y - y^2 + 2y^2 - 2y + 6$

$Q = (x + 2 - y)^2 + y^2 + 2y + 2$

$Q = (x + 2 - y)^2 + (y^2 + 2y + 1 - 1) + 2$

$Q = (x + 2 - y)^2 + (y + 1)^2 - 1 + 2$

$Q = (x + 2 - y)^2 + (y + 1)^2 + 1$

$Q$ は $(x + 2 - y)^2 \geq 0$ と $(y + 1)^2 \geq 0$ なので、$y = -1$ かつ $x + 2 - y = 0$ の時に最小値をとる。

$y = -1$ を $x + 2 - y = 0$ に代入すると、$x + 2 - (-1) = 0$

$x + 3 = 0$ より $x = -3$

このとき、$Q = 0 + 0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-5$, $x = -2$, $y = 1$

(2) 最小値: $1$, $x = -3$, $y = -1$