与えられた方程式は $(7\sqrt{7})^{2-3x} = \sqrt[7]{49^{-6}}$です。この方程式を解いて、$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式は $(7\sqrt{7})^{2-3x} = \sqrt[7]{49^{-6}}$です。この方程式を解いて、$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、両辺の底を同じにします。

左辺の底は、$7\sqrt{7}=7^1 \cdot 7^{1/2} = 7^{3/2}$です。

右辺の底は、$49=7^2$なので、$\sqrt[7]{49^{-6}} = \sqrt[7]{(7^2)^{-6}} = \sqrt[7]{7^{-12}} = 7^{-12/7}$です。

したがって、与えられた方程式は次のように書き換えられます。

$(7^{3/2})^{2-3x} = 7^{-12/7}$

指数の法則$(a^m)^n = a^{mn}$より、左辺は$7^{(3/2)(2-3x)}$となります。

したがって、

$7^{(3/2)(2-3x)} = 7^{-12/7}$

底が同じなので、指数を比較します。

$\frac{3}{2}(2-3x) = -\frac{12}{7}$

両辺に$\frac{2}{3}$を掛けると、

$2-3x = -\frac{12}{7} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{7}$

$3x = 2 + \frac{8}{7} = \frac{14+8}{7} = \frac{22}{7}$

$x = \frac{22}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{22}{21}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{22}{21}$