はい、承知いたしました。

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1. 問題の内容**

問題は、与えられた図形（直線、平面）を行列によって変換した後の図形の方程式を求めるものです。問題は5つあります。

(1) 直線 $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3}$ を行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ で変換します。

(2) 直線 $x=2$ かつ $y+z-4=0$ を行列 $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ で変換します。

(3) 直線 $x-2 = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{3}$ を行列 $\begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ で変換します。

(4) 平面 $2x - y + z - 3 = 0$ を行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ で変換します。

(5) 平面 $x + 2y - 3z - 5 = 0$ を行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ で変換します。

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2. 解き方の手順**

各問題に対して、以下の手順で解きます。

1. 変換前の点の座標を $(x, y, z)$ とします。

2. 変換後の点の座標を $(x', y', z')$ とします。

3. 変換行列を $A$ とすると、$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ が成り立ちます。

4. この式から $x, y, z$ を $x', y', z'$ で表します。すなわち、$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$を計算します。

5. 変換前の図形の方程式に、求めた $x, y, z$ の式を代入します。

6. 得られた $x', y', z'$ の式が、変換後の図形の方程式となります。

7. 最後に、$x', y', z'$をそれぞれ$x, y, z$に置き換えます。

(1)

$\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3} = t$ とおくと、$x=2t+1$, $y=t-2$, $z=3t-1$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2t+1 \\ t-2 \\ 3t-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11t-5 \\ 5t \\ 7t-8 \end{pmatrix}$

$x'=11t-5, y'=5t, z'=7t-8$

$t=\frac{y'}{5}$

$x'=11\frac{y'}{5}-5=\frac{11y'}{5}-5$

$z'=7\frac{y'}{5}-8=\frac{7y'}{5}-8$

$x=\frac{11y}{5}-5$

$z=\frac{7y}{5}-8$

(2)

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$x=2, y+z-4=0$より$y+z=4$

$x'=3x-y-z=3x-(y+z)=3(2)-4=2$

$y'=-3x+y+z=-3x+(y+z)=-3(2)+4=-2$

$z'=3x+3y+3z=3(x+y+z)=3(2+4)=18$

$x=2$

$y+z=4$

$x'=6-y-z = 2$

$y'=-6+y+z = -2$

$z'=6+3(y+z)=18$

答え $x=2$ かつ $y=-2$ かつ $z=18$. これは点が一つだけなので、変換後の直線は点になる

(3)

$x-2=\frac{y-1}{5}=\frac{z+1}{3}=t$とおくと

$x=t+2, y=5t+1, z=3t-1$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t+2 \\ 5t+1 \\ 3t-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5t+1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x'=0, y'=-5t+1, z'=0$

$x=0, z=0$

$t=\frac{1-y'}{5}$

答え：$x=0, z=0$

(4)

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$2x - y + z - 3 = 0$

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$det(A)=1(2-0)-3(4-0)+1(2+1)=2-12+3=-7$

$A^{-1} = \frac{1}{-7}\begin{pmatrix} 2 & -5 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/7 & 5/7 & 1/7 \\ 4/7 & -3/7 & -2/7 \\ -3/7 & 4/7 & 5/7 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/7 & 5/7 & 1/7 \\ 4/7 & -3/7 & -2/7 \\ -3/7 & 4/7 & 5/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$

$x = (-2x'+5y'+z')/7$

$y = (4x'-3y'-2z')/7$

$z = (-3x'+4y'+5z')/7$

$2((-2x+5y+z)/7)-((4x-3y-2z)/7)+((-3x+4y+5z)/7)-3=0$

$(-4x+10y+2z)/7-(4x-3y-2z)/7+(-3x+4y+5z)/7-3=0$

$-11x+17y+9z=21$

答え：$-11x + 17y + 9z - 21 = 0$

(5)

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$x + 2y - 3z - 5 = 0$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(6-1)-2(0-2)+0 = 5+4=9$

$A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 5 & -6 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 5 & -6 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$

$x = (5x'-6y'+2z')/9$

$y = (2x'+3y'-z')/9$

$z = (-4x'+3y'+2z')/9$

$\frac{(5x'-6y'+2z')}{9} + 2\frac{(2x'+3y'-z')}{9} - 3\frac{(-4x'+3y'+2z')}{9} - 5 = 0$

$(5x-6y+2z)+2(2x+3y-z)-3(-4x+3y+2z)=45$

$(5x-6y+2z)+(4x+6y-2z)+(12x-9y-6z)=45$

$21x-9y-6z=45$

$7x-3y-2z=15$

答え：$7x-3y-2z-15=0$

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3. 最終的な答え**

(1) $x = \frac{11y}{5} - 5$, $z = \frac{7y}{5} - 8$

(2) 点 $(2, -2, 18)$

(3) $x = 0$, $z = 0$

(4) $-11x + 17y + 9z - 21 = 0$

(5) $7x - 3y - 2z - 15 = 0$