$x$が$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \cdots$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$が$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \cdots$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項が1、公比が$2x$の無限等比級数です。

無限等比級数の和は、公比の絶対値が1より小さいとき、収束し、その和は $\frac{\text{初項}}{1 - \text{公比}}$ で与えられます。

この問題では、$x$の範囲が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ なので、公比 $2x$ の範囲は $-1 < 2x < 1$ となり、公比の絶対値は1より小さいので、級数は収束します。

したがって、無限等比級数の和は以下のようになります。

$$\frac{1}{1 - 2x}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-2x}$