(1) 連続する3つの偶数において、真ん中の数を7倍した数から、最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は、6の倍数になることを証明する。 (2) 連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しくなることを証明する。

はい、承知いたしました。それでは問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) 連続する3つの偶数において、真ん中の数を7倍した数から、最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は、6の倍数になることを証明する。

(2) 連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しくなることを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

連続する3つの偶数のうち、最も小さい偶数を $2n$ とすると、残りの2つの偶数は $2n+2$、$2n+4$ と表せる。

真ん中の偶数は $2n+2$ である。

真ん中の偶数の7倍は $7(2n+2) = 14n + 14$ である。

最も小さい数と最も大きい数の和の2倍は $2(2n + 2n + 4) = 2(4n+4) = 8n+8$ である。

したがって、差は $(14n+14) - (8n+8) = 6n+6 = 6(n+1)$ となる。

$n$ は整数なので、$n+1$ も整数である。したがって、$6(n+1)$ は6の倍数である。

(2)

連続する4つの整数のうち、最も小さい整数を $n$ とすると、残りの3つの整数は $n+1$、$n+2$、$n+3$ と表せる。

したがって、連続する4つの整数の和は $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n+6$ となる。

最も小さい整数は $n$ で、最も大きい整数は $n+3$ である。

したがって、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍は $2(n + n+3) = 2(2n+3) = 4n+6$ となる。

よって、連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しい。

3. 最終的な答え

(1) 連続する3つの偶数において、真ん中の数を7倍した数から、最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は、6の倍数になる。

(2) 連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しくなる。