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与えられた数式または関数を、指定された形式に変形し、空欄を埋めたり、グラフを描いたり、軸と頂点を求めたりする問題です。具体的には、平方完成、グラフの概形、軸、頂点などが問われています。

代数学二次関数平方完成頂点軸
2025/7/22
以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた数式または関数を、指定された形式に変形し、空欄を埋めたり、グラフを描いたり、軸と頂点を求めたりする問題です。具体的には、平方完成、グラフの概形、軸、頂点などが問われています。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。
(1) x2−10x=x2−2×5xx^2 - 10x = x^2 - 2 \times 5x
平方完成を行うために、(x−5)2(x - 5)^2を展開すると、x2−10x+25x^2 - 10x + 25となる。
元の式はx2−10xx^2 - 10xなので、+25+25を引く必要がある。
したがって、x2−10x=(x−5)2−25x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25となる。
(2) (1) x2−8xx^2 - 8x
平方完成をするために、(x−4)2(x-4)^2を展開すると、x2−8x+16x^2 - 8x + 16となる。
元の式はx2−8xx^2 - 8xなので、+16+16を引く必要がある。
したがって、x2−8x=(x−4)2−16x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16となる。
(2) (2) x2+4xx^2 + 4x
平方完成をするために、(x+2)2(x + 2)^2を展開すると、x2+4x+4x^2 + 4x + 4となる。
元の式はx2+4xx^2 + 4xなので、+4+4を引く必要がある。
したがって、x2+4x=(x+2)2−4x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4となる。
(3) y=x2+8x+5y = x^2 + 8x + 5
y=x2+2×4x+5y = x^2 + 2 \times 4x + 5
y=(x+4)2−42+5y = (x + 4)^2 - 4^2 + 5
y=(x+4)2−16+5y = (x + 4)^2 - 16 + 5
y=(x+4)2−11y = (x + 4)^2 - 11
(4) (1) y=x2−4x−6y = x^2 - 4x - 6
y=(x−2)2−22−6y = (x - 2)^2 - 2^2 - 6
y=(x−2)2−4−6y = (x - 2)^2 - 4 - 6
y=(x−2)2−10y = (x - 2)^2 - 10
(4) (2) y=x2+12x+1y = x^2 + 12x + 1
y=(x+6)2−62+1y = (x + 6)^2 - 6^2 + 1
y=(x+6)2−36+1y = (x + 6)^2 - 36 + 1
y=(x+6)2−35y = (x + 6)^2 - 35
(5) y=2x2+16xy = 2x^2 + 16x
y=2(x2+8x)y = 2(x^2 + 8x)
y=2((x+4)2−42)y = 2((x + 4)^2 - 4^2)
y=2((x+4)2−16)y = 2((x + 4)^2 - 16)
y=2(x+4)2−32y = 2(x + 4)^2 - 32
(6) (1) y=2x2−4xy = 2x^2 - 4x
y=2(x2−2x)y = 2(x^2 - 2x)
y=2((x−1)2−12)y = 2((x - 1)^2 - 1^2)
y=2((x−1)2−1)y = 2((x - 1)^2 - 1)
y=2(x−1)2−2y = 2(x - 1)^2 - 2
(6) (2) y=3x2+12xy = 3x^2 + 12x
y=3(x2+4x)y = 3(x^2 + 4x)
y=3((x+2)2−22)y = 3((x + 2)^2 - 2^2)
y=3((x+2)2−4)y = 3((x + 2)^2 - 4)
y=3(x+2)2−12y = 3(x + 2)^2 - 12
(7) y=−x2+4xy = -x^2 + 4x
y=−(x2−4x)y = -(x^2 - 4x)
y=−((x−2)2−22)y = -((x - 2)^2 - 2^2)
y=−((x−2)2−4)y = -((x - 2)^2 - 4)
y=−(x−2)2+4y = -(x - 2)^2 + 4
(8) (1) y=−x2+10xy = -x^2 + 10x
y=−(x2−10x)y = -(x^2 - 10x)
y=−((x−5)2−52)y = -((x - 5)^2 - 5^2)
y=−((x−5)2−25)y = -((x - 5)^2 - 25)
y=−(x−5)2+25y = -(x - 5)^2 + 25
(8) (2) y=−x2+6x+5y = -x^2 + 6x + 5
y=−(x2−6x)+5y = -(x^2 - 6x) + 5
y=−((x−3)2−32)+5y = -((x - 3)^2 - 3^2) + 5
y=−((x−3)2−9)+5y = -((x - 3)^2 - 9) + 5
y=−(x−3)2+9+5y = -(x - 3)^2 + 9 + 5
y=−(x−3)2+14y = -(x - 3)^2 + 14
(9) (1) y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1
y=(x+2)2−22+1y = (x + 2)^2 - 2^2 + 1
y=(x+2)2−4+1y = (x + 2)^2 - 4 + 1
y=(x+2)2−3y = (x + 2)^2 - 3
軸: x=−2x = -2, 頂点: (−2,−3)(-2, -3)
(9) (2) y=−x2−6x−5y = -x^2 - 6x - 5
y=−(x2+6x)−5y = -(x^2 + 6x) - 5
y=−((x+3)2−32)−5y = -((x + 3)^2 - 3^2) - 5
y=−((x+3)2−9)−5y = -((x + 3)^2 - 9) - 5
y=−(x+3)2+9−5y = -(x + 3)^2 + 9 - 5
y=−(x+3)2+4y = -(x + 3)^2 + 4
軸: x=−3x = -3, 頂点: (−3,4)(-3, 4)

3. 最終的な答え

1. $(x - 5)^2 - 25$

2. (1) $(x - 4)^2 - 16$ (2) $(x + 2)^2 - 4$

3. $(x + 4)^2 - 11$

4. (1) $(x - 2)^2 - 10$ (2) $(x + 6)^2 - 35$

5. $2(x + 4)^2 - 32$

6. (1) $2(x - 1)^2 - 2$ (2) $3(x + 2)^2 - 12$

7. $-(x - 2)^2 + 4$

8. (1) $-(x - 5)^2 + 25$ (2) $-(x - 3)^2 + 14$

9. (1) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, -3)$

(2) 軸: x=−3x = -3, 頂点: (−3,4)(-3, 4)
グラフの描画については、省略します。

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