実数 $a$ に対して、xy平面上の放物線 $C: y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を考える。 (1) $a$ がすべての実数を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。 (2) $a$ が $-1 \leq a \leq 1$ の範囲を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、xy平面上の放物線 $C: y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を考える。

(1) $a$ がすべての実数を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

(2) $a$ が $-1 \leq a \leq 1$ の範囲を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を $a$ について整理する。

$y = x^2 - 2ax + a^2 - 2a^2 + 1$

$y = x^2 - 2ax - a^2 + 1$

$a^2 + 2xa + (y - x^2 - 1) = 0$

$a$ がすべての実数を動くので、$a$ に関する二次方程式が実数解を持つ条件を考える。

判別式 $D \geq 0$ より、

$D/4 = x^2 - (y - x^2 - 1) \geq 0$

$x^2 - y + x^2 + 1 \geq 0$

$2x^2 - y + 1 \geq 0$

$y \leq 2x^2 + 1$

したがって、$a$ がすべての実数を動くとき、$C$ が通過する領域は $y \leq 2x^2 + 1$ となる。

図示は、$y = 2x^2 + 1$ の放物線の下側の領域になる。放物線 $y = 2x^2 + 1$ も含む。

(2)

$f(a) = a^2 + 2xa + (y - x^2 - 1)$ とおく。

$-1 \leq a \leq 1$ において、 $f(a) = 0$ が少なくとも一つの解を持つ条件を求める。

$f(-1) = 1 - 2x + y - x^2 - 1 = y - x^2 - 2x$

$f(1) = 1 + 2x + y - x^2 - 1 = y - x^2 + 2x$

軸は $a = -x$.

(i) $f(-1) \leq 0$ または $f(1) \leq 0$ の場合

$y \leq x^2 + 2x$ または $y \leq x^2 - 2x$

(ii) $f(-1) > 0$ かつ $f(1) > 0$ かつ $-1 \leq -x \leq 1$ かつ 判別式 $D \geq 0$ の場合

$y > x^2 + 2x$ かつ $y > x^2 - 2x$ かつ $-1 \leq x \leq 1$ かつ $y \leq 2x^2 + 1$

(i) $y \leq x^2 + 2x$ または $y \leq x^2 - 2x$ の場合

$y \leq (x+1)^2 - 1$ または $y \leq (x-1)^2 - 1$

(ii) $y > x^2 + 2x$ かつ $y > x^2 - 2x$ かつ $-1 \leq x \leq 1$ かつ $y \leq 2x^2 + 1$ の場合

$x^2 + 2x < y \leq 2x^2 + 1$ かつ $x^2 - 2x < y \leq 2x^2 + 1$ かつ $-1 \leq x \leq 1$

$y \leq x^2 + 2x$ と $y \leq x^2 - 2x$ の共通範囲は $y \leq 2x^2 + 1$ において $-1 \leq x \leq 1$ の場合

$x = 0$ の時、 $y \leq 0$, $x = \pm 1$ の時、$y \leq 3$

$y \leq x^2 + 2x$ または $y \leq x^2 - 2x$

$y \leq (x+1)^2 - 1$ または $y \leq (x-1)^2 - 1$

最終的な答えは、$y \leq 2x^2 + 1$ であり、$y \leq x^2 + 2x$ または $y \leq x^2 - 2x$ である領域。

$y \leq \min\{x^2+2x, x^2-2x, 2x^2+1\}$

$-1 \leq x \leq 1$

3. 最終的な答え

(1) $y \leq 2x^2 + 1$

(2) $y \leq 2x^2 + 1$ かつ ($y \leq x^2 + 2x$ または $y \leq x^2 - 2x$) かつ $-1 \leq x \leq 1$