画像には5つの問題が含まれています。 * Q21: 関数 $g(x) = x^2 \ln x (x>0)$ の導関数 $g'(x)$ を求める問題 * Q22: 関数 $h(x) = \begin{cases} x^2 - ax & (x<2) \\ ax+1 & (x \ge 2) \end{cases}$ が $x=2$ で連続となるような定数 $a$ を求める問題 * Q23: 曲線 $y = \ln x$ における点 $(1,0)$ での接線の方程式を求める問題 * Q24: 初項 $a_1 = 5$, 公差 $d = 3$ の等差数列における第10項 $a_{10}$ を求める問題 * Q25: 初項1、第20項39の等差数列の和 $S_{20}$ を求める問題

1. 問題の内容

画像には5つの問題が含まれています。

* Q21: 関数 $g(x) = x^2 \ln x (x>0)$ の導関数 $g'(x)$ を求める問題

* Q22: 関数 $h(x) = \begin{cases} x^2 - ax & (x<2) \\ ax+1 & (x \ge 2) \end{cases}$ が $x=2$ で連続となるような定数 $a$ を求める問題

* Q23: 曲線 $y = \ln x$ における点 $(1,0)$ での接線の方程式を求める問題

* Q24: 初項 $a_1 = 5$, 公差 $d = 3$ の等差数列における第10項 $a_{10}$ を求める問題

* Q25: 初項1、第20項39の等差数列の和 $S_{20}$ を求める問題

2. 解き方の手順

以下、各問題の解き方を説明します。

* Q21:

* 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

* $u = x^2$, $v = \ln x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$

* $g'(x) = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$

* したがって、答えは 2x lnx + x です。 選択肢にはないため、タイプミスです。 正しい選択肢は「

5. 2xlnx + x」 になります。

* Q22:

* $x=2$ で連続である条件は、$\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2^+} h(x) = h(2)$ であること。

* $\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - ax) = 2^2 - 2a = 4 - 2a$

* $\lim_{x \to 2^+} h(x) = \lim_{x \to 2^+} (ax + 1) = 2a + 1$

* 連続であるためには、$4 - 2a = 2a + 1$ である必要があり、これを解くと、$4a = 3$, $a = \frac{3}{4}$

* Q23:

* $y = \ln x$ を微分すると、$y' = \frac{1}{x}$

* 点 $(1,0)$ における接線の傾きは、$y'(1) = \frac{1}{1} = 1$

* 接線の方程式は、$y - 0 = 1(x - 1)$, つまり $y = x - 1$

* Q24:

* 等差数列の一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$

* $a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 5 + 9 \cdot 3 = 5 + 27 = 32$

* Q25:

* 等差数列の和は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

* $S_{20} = \frac{20}{2}(1 + 39) = 10 \cdot 40 = 400$

3. 最終的な答え

* Q21: 2x lnx + x

* Q22: 3/4

* Q23: y = x - 1

* Q24: 32

* Q25: 400