与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示す問題です。関数は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示す問題です。関数は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

微分可能性を示すには、定義に従って微分係数を計算し、それが存在することを示す必要があります。 $x=0$ における微分係数 $f'(0)$ は、次のように定義されます。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

$f(0)=0$なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$

$h \neq 0$の場合、$f(h) = h^2 \sin(\frac{1}{h})$なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h})$

ここで、$-1 \leq \sin(\frac{1}{h}) \leq 1$ であるため、 $-|h| \leq h \sin(\frac{1}{h}) \leq |h|$ となります。$h \to 0$ のとき、$|h| \to 0$ なので、挟みうちの原理より、

$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$

したがって、$f'(0) = 0$ となり、$x=0$ で微分可能であることが示されました。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、$f'(0) = 0$ です。