与えられた問題は、三角関数の微分を求める問題です。 具体的には、 (10) $(\cos x)'$ (11) $(\tan x)'$ (12) $(\sin ax)'$ (13) $(\cos ax)'$ (14) $(\tan ax)'$ をそれぞれ計算します。 (10), (12), (13) は既に解答が与えられていますが、(11)と(14)を計算する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた問題は、三角関数の微分を求める問題です。

具体的には、

(10) $(\cos x)'$

(11) $(\tan x)'$

(12) $(\sin ax)'$

(13) $(\cos ax)'$

(14) $(\tan ax)'$

をそれぞれ計算します。

(10), (12), (13) は既に解答が与えられていますが、(11)と(14)を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

(11) $(\tan x)'$の計算:

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$なので、商の微分公式を使います。

商の微分公式は$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

$u = \sin x$, $v = \cos x$とすると、$u' = \cos x$, $v' = -\sin x$なので、

$(\tan x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

(14) $(\tan ax)'$の計算:

合成関数の微分公式を使います。$\tan ax$の微分は$(\tan ax)' = (\tan u)'\cdot u'$ (ただし$u=ax$)で計算できます。

$(\tan u)' = \sec^2 u$, $u' = a$なので、

$(\tan ax)' = \sec^2(ax) \cdot a = a \sec^2(ax)$

3. 最終的な答え

(10) $(\cos x)' = -\sin x$

(11) $(\tan x)' = \sec^2 x$

(12) $(\sin ax)' = a \cos(ax)$

(13) $(\cos ax)' = -a \sin(ax)$

(14) $(\tan ax)' = a \sec^2(ax)$