次の広義積分の値を求めます。 (1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx$ (2) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (3) $\int_{-1}^{2} \frac{x^2 + 2x}{|x|} dx$ 次の広義積分の値を求めます。 (1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$ (3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$

はい、承知いたしました。画像にある広義積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の広義積分の値を求めます。

(1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx$

(2) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

(3) $\int_{-1}^{2} \frac{x^2 + 2x}{|x|} dx$

次の広義積分の値を求めます。

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$

2. 解き方の手順

1. (1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx$

これは $x=0$ で被積分関数が定義されないので広義積分です。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$

それぞれの積分は発散するため、この広義積分は発散します。積分はコーシーの主値の意味で定義されます。主値は

$P.V.\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} (\int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx + \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x} dx) = \lim_{\epsilon \to 0} (\log|\epsilon| - \log|-1| - (\log|\epsilon| - \log|1|)) = 0$

となります。

2. (2) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

これは $x = \pm 1$ で被積分関数が定義されないので広義積分です。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\arcsin x]_{-1}^{1} = \arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

3. (3) $\int_{-1}^{2} \frac{x^2 + 2x}{|x|} dx$

これは $x=0$ で被積分関数が定義されないので広義積分です。

$\int_{-1}^{2} \frac{x^2 + 2x}{|x|} dx = \int_{-1}^{0} \frac{x^2 + 2x}{-x} dx + \int_{0}^{2} \frac{x^2 + 2x}{x} dx = \int_{-1}^{0} (-x - 2) dx + \int_{0}^{2} (x + 2) dx$

$= [-\frac{1}{2}x^2 - 2x]_{-1}^{0} + [\frac{1}{2}x^2 + 2x]_{0}^{2} = (0 - (-\frac{1}{2} + 2)) + (2 + 4 - 0) = -(\frac{3}{2}) + 6 = \frac{9}{2}$

4. (1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{x}]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{t} + 1) = 1$

5. (2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{\log x}{x}]_{1}^{t} + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{\log t}{t} + \frac{\log 1}{1}] + 1 = \lim_{t \to \infty} -\frac{\log t}{t} + 0 + 1 = 0 + 1 = 1$

ここで、ロピタルの定理を用いて、$\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1/t}{1} = 0$

6. (3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$

これは $x=1$ で被積分関数が定義されないので広義積分です。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 - 1} dx + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}|$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \lim_{t \to 1^-} [\frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}|]_{0}^{t} = \lim_{t \to 1^-} \frac{1}{2} (\log|\frac{t-1}{t+1}| - \log|-1|) = -\infty$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \lim_{t \to \infty} [\frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}|]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} (\log|\frac{t-1}{t+1}| - \log|0|) = \frac{1}{2}(0 - (-\infty)) = +\infty$

積分はコーシーの主値の意味で定義されます。主値は

$P.V.\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \lim_{\epsilon \to 0} (\int_{0}^{1-\epsilon} \frac{1}{x^2-1} dx + \int_{1+\epsilon}^{A} \frac{1}{x^2-1} dx)$

$= \lim_{\epsilon \to 0, A \to \infty} \frac{1}{2} [\ln|\frac{x-1}{x+1}|]_{0}^{1-\epsilon} + \frac{1}{2} [\ln|\frac{x-1}{x+1}|]_{1+\epsilon}^{A}$

$= \lim_{\epsilon \to 0, A \to \infty} \frac{1}{2} (\ln|\frac{-\epsilon}{2-\epsilon}| - \ln|1|) + \frac{1}{2} (\ln|\frac{A-1}{A+1}| - \ln|\frac{\epsilon}{2+\epsilon}|)$

$= \lim_{\epsilon \to 0, A \to \infty} \frac{1}{2} (\ln|\frac{-\epsilon}{2-\epsilon}| + \ln|\frac{A-1}{A+1}| - \ln|\frac{\epsilon}{2+\epsilon}|)$

$= \lim_{\epsilon \to 0, A \to \infty} \frac{1}{2} (\ln|\frac{2+\epsilon}{2-\epsilon}| + \ln|\frac{A-1}{A+1}|)$

$= \frac{1}{2} (\ln|1| + \ln|1|) = 0$

3. 最終的な答え

1. (1) 発散 (主値は 0)

2. (2) $\pi$

3. (3) $\frac{9}{2}$

4. (1) $1$

5. (2) $1$

6. (3) 発散 (主値は 0)