極限 $\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{2(\sqrt{a}+\sqrt{e})^2}$ が存在し、その値が0でないためには、なぜ $2-m = 0$ である必要があるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

極限

$\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{2(\sqrt{a}+\sqrt{e})^2}$

が存在し、その値が0でないためには、なぜ $2-m = 0$ である必要があるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の極限を考えます。$a \to e$ のとき、$\sqrt{a} \to \sqrt{e}$ なので、

$\lim_{a \to e} 2(\sqrt{a}+\sqrt{e})^2 = 2(\sqrt{e}+\sqrt{e})^2 = 2(2\sqrt{e})^2 = 2(4e) = 8e$

となり、分母は $8e$ に収束します。

次に、分子の極限を考えます。

$\lim_{a \to e} (a-e)^{2-m}$

$2-m$ の値によって場合分けします。

(1) $2-m > 0$ の場合、$\lim_{a \to e} (a-e)^{2-m} = 0$ となります。

このとき、極限 $\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{2(\sqrt{a}+\sqrt{e})^2} = \frac{0}{8e} = 0$ となり、極限値は0になります。問題文の条件「極限が存在し、その値が0でない」に反します。

(2) $2-m < 0$ の場合、$2-m = -k$ （$k>0$）とおくと、

$(a-e)^{2-m} = (a-e)^{-k} = \frac{1}{(a-e)^k}$

となります。$\lim_{a \to e} (a-e)^{-k} = \infty$ となり、$\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{2(\sqrt{a}+\sqrt{e})^2} = \infty$ となり、極限は存在しません。問題文の条件「極限が存在し、その値が0でない」に反します。

(3) $2-m = 0$ の場合、$\lim_{a \to e} (a-e)^{2-m} = \lim_{a \to e} (a-e)^0 = \lim_{a \to e} 1 = 1$ となります。

このとき、極限 $\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{2(\sqrt{a}+\sqrt{e})^2} = \frac{1}{8e}$ となり、極限値は $\frac{1}{8e}$ であり、0ではありません。また、極限は存在します。

以上の議論から、$2-m = 0$ である必要があります。

3. 最終的な答え

極限が存在し、その値が0でないためには、$2-m = 0$ である必要がある。なぜなら、$2-m > 0$ なら極限は0に、$2-m < 0$ なら極限は存在しなくなるから。