(4) 命題 $p \implies q$ に対して、逆、裏、対偶を答える。また、命題 $p \implies q$ が真のとき、必ず真になる命題を答える。 (5) $m, n$ を整数とするとき、$mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための条件を答える。 (6) $p, q$ を有理数とする。$\sqrt{2}$ は無理数なので、$(p-1) + \sqrt{2}(q-2) = 0$ を満たす $p, q$ の値を求める。

1. 問題の内容

(4) 命題 $p \implies q$ に対して、逆、裏、対偶を答える。また、命題 $p \implies q$ が真のとき、必ず真になる命題を答える。

(5) $m, n$ を整数とするとき、$mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための条件を答える。

(6) $p, q$ を有理数とする。$\sqrt{2}$ は無理数なので、$(p-1) + \sqrt{2}(q-2) = 0$ を満たす $p, q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(4)

* 命題 $p \implies q$ に対して、

* 逆は $q \implies p$

* 裏は $\neg p \implies \neg q$

* 対偶は $\neg q \implies \neg p$

* 命題 $p \implies q$ が真のとき、必ず真になるのは対偶 $\neg q \implies \neg p$ である。

(5)

* $mn$ が偶数であるための必要十分条件は、$m$ または $n$ が偶数であることである。

* $m$ が偶数ならば $mn$ は偶数なので、$m$ が偶数であることは $mn$ が偶数であるための十分条件である。

* $mn$ が偶数でも $m$ が奇数の場合（例：$m=1, n=2$）があるので、$m$ が偶数であることは $mn$ が偶数であるための必要条件ではない。

(6)

* $p, q$ は有理数であり、$\sqrt{2}$ は無理数であるから、$(p-1) + \sqrt{2}(q-2) = 0$ が成り立つためには、$p-1 = 0$ かつ $q-2 = 0$ である必要がある。

* したがって、$p = 1$ かつ $q = 2$ である。

3. 最終的な答え

(4)

* 逆：$q \implies p$

* 裏：$\neg p \implies \neg q$

* 対偶：$\neg q \implies \neg p$

* 必ず真になる命題：対偶

(5)

* 十分条件

(6)

* $p = 1$

* $q = 2$