(3) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が7のとき、定数 $a$ の値と、そのときの最小値を求める。 (4) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が-3のとき、定数 $a$ の値と、そのときの最大値を求める。 (5) 2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(3) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が7のとき、定数 $a$ の値と、そのときの最小値を求める。

(4) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が-3のとき、定数 $a$ の値と、そのときの最大値を求める。

(5) 2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(3)

まず、平方完成をして、関数の頂点を求める。

$y = x^2 + 2x + 2a = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

頂点は $(-1, -1 + 2a)$

$-2 \le x \le 1$ の範囲で、軸 $x = -1$ を含むので、頂点で最小値を取る可能性がある。

$x = 1$ のとき $y = 1 + 2 + 2a = 3 + 2a$

$x = -2$ のとき $y = 4 - 4 + 2a = 2a$

$3 + 2a$ と $2a$ を比較すると、$3 + 2a > 2a$ なので、$x = 1$ のときに最大値を取りうる。

もし $x = 1$ で最大値をとるなら、 $3 + 2a = 7$ より $2a = 4$ なので $a = 2$。このとき、頂点の $y$ 座標は $-1 + 2a = -1 + 4 = 3$ なので、$x = -1$ で最小値3をとる。$x=-2$では$2a=4$なので、$x=-2$で4となる。したがって、$-2 \le x \le 1$ において、最大値が $x=1$ で 7、最小値が $x = -1$ で 3 となる。

したがって、$a = 2$。

最小値は3。

(4)

まず、平方完成をして、関数の頂点を求める。

$y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$

頂点は $(3, -9 + a)$

$1 \le x \le 4$ の範囲で、軸 $x = 3$ を含むので、頂点で最小値を取る。

よって、$-9 + a = -3$ より $a = 6$

このとき、$y = (x - 3)^2 - 3$

$x = 1$ のとき $y = (1 - 3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x = 4$ のとき $y = (4 - 3)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

最大値は1。

(5)

2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (-2(a-1))^2 - 4(1)(4) = 4(a-1)^2 - 16 = 4(a^2 - 2a + 1) - 16 = 4a^2 - 8a + 4 - 16 = 4a^2 - 8a - 12 = 4(a^2 - 2a - 3) = 4(a - 3)(a + 1)$

$D = 0$ より $4(a - 3)(a + 1) = 0$

よって、 $a = 3$ または $a = -1$。

3. 最終的な答え

(3) $a = 2$, 最小値は 3

(4) $a = 6$, 最大値は 1

(5) $a = 3, -1$