正の定数 $a$ が与えられ、y軸上の点A(0, $a$)と、放物線 $y=x^2$ の $x \ge 0$ の部分にある点P($\sqrt{y}$, $y$) を考える。線分APの長さの2乗を $L$ とするとき、次の問いに答える。ただし、$0 \le y \le a$ とする。 (1) $L$ を $a$ と $y$ を用いて表せ。 (2) $L$ の最小値とそのときの $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられ、y軸上の点A(0, $a$)と、放物線 $y=x^2$ の $x \ge 0$ の部分にある点P($\sqrt{y}$, $y$) を考える。線分APの長さの2乗を $L$ とするとき、次の問いに答える。ただし、$0 \le y \le a$ とする。

(1) $L$ を $a$ と $y$ を用いて表せ。

(2) $L$ の最小値とそのときの $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A(0, $a$)と点P($\sqrt{y}$, $y$) の距離の2乗 $L$ を求める。

2点間の距離の公式より、$AP = \sqrt{(\sqrt{y} - 0)^2 + (y - a)^2}$

したがって、$L = AP^2 = (\sqrt{y} - 0)^2 + (y - a)^2$

$L = y + (y-a)^2 = y + y^2 - 2ay + a^2$

$L = y^2 + (1-2a)y + a^2$

(2) $L$ を $y$ の関数として最小値を求める。$L$ を平方完成する。

$L = y^2 + (1-2a)y + a^2 = (y + \frac{1-2a}{2})^2 - (\frac{1-2a}{2})^2 + a^2$

$L = (y + \frac{1-2a}{2})^2 - \frac{1-4a+4a^2}{4} + \frac{4a^2}{4}$

$L = (y + \frac{1-2a}{2})^2 - \frac{1 - 4a}{4}$

$L$ は $y = -\frac{1-2a}{2} = a - \frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{1-4a}{4} = a - \frac{1}{4}$ をとる。

ただし、$0 \le y \le a$ であるから、以下の3つの場合に分けて考える。

(i) $a < \frac{1}{2}$ のとき、 $a - \frac{1}{2} < 0$ であるから、$y = 0$ で最小となる。

$L(0) = 0^2 + (1-2a) \cdot 0 + a^2 = a^2$

(ii) $\frac{1}{2} \le a \le \frac{3}{2}$ のとき、$0 \le a - \frac{1}{2} \le a$ であるから、$y = a - \frac{1}{2}$ で最小となる。

$L(a - \frac{1}{2}) = a - \frac{1}{4}$

(iii) $a > \frac{3}{2}$ のとき、$a - \frac{1}{2} > a$ であるから、$y = a$ で最小となる。

$L(a) = a^2 + (1-2a)a + a^2 = a^2 + a - 2a^2 + a^2 = a$

まとめると、

(i) $0 \le a < \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $a^2$ で、$y=0$

(ii) $\frac{1}{2} \le a \le \frac{3}{2}$ のとき、最小値は $a - \frac{1}{4}$ で、$y = a - \frac{1}{2}$

(iii) $a > \frac{3}{2}$ のとき、最小値は $a$ で、$y = a$

3. 最終的な答え

(1) $L = y^2 + (1-2a)y + a^2$

(2)

(i) $0 \le a < \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $a^2$ で、$y=0$

(ii) $\frac{1}{2} \le a \le \frac{3}{2}$ のとき、最小値は $a - \frac{1}{4}$ で、$y = a - \frac{1}{2}$

(iii) $a > \frac{3}{2}$ のとき、最小値は $a$ で、$y = a$