以下の6つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - x - 12}{x - 4}$ (3) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 4x - 21}{x + 3}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 9x}{x^2 - 3x}$ (5) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + x - 2}$ (6) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}$

はい、承知いたしました。与えられた極限の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - x - 12}{x - 4}$

(3) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 4x - 21}{x + 3}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 9x}{x^2 - 3x}$

(5) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + x - 2}$

(6) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}$

2. 解き方の手順

各極限について、以下のように計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - x}{x}$

$x$で約分すると、

$\lim_{x \to 0} (3x - 1)$

$x \to 0$ のとき、 $3x - 1 \to -1$

(2) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - x - 12}{x - 4}$

分子を因数分解すると、

$\lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 4}$

$x - 4$ で約分すると、

$\lim_{x \to 4} (x + 3)$

$x \to 4$ のとき、 $x + 3 \to 7$

(3) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 4x - 21}{x + 3}$

分子を因数分解すると、

$\lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(x - 7)}{x + 3}$

$x + 3$ で約分すると、

$\lim_{x \to -3} (x - 7)$

$x \to -3$ のとき、 $x - 7 \to -10$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 9x}{x^2 - 3x}$

$x$で約分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{2x + 9}{x - 3}$

$x \to 0$ のとき、 $\frac{2x + 9}{x - 3} \to \frac{9}{-3} = -3$

(5) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + x - 2}$

分子と分母をそれぞれ因数分解すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 6)}{(x - 1)(x + 2)}$

$x - 1$ で約分すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x + 6}{x + 2}$

$x \to 1$ のとき、 $\frac{x + 6}{x + 2} \to \frac{7}{3}$

(6) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}$

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ なので、

$\lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2}$

$x + 2$ で約分すると、

$\lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4)$

$x \to -2$ のとき、 $x^2 - 2x + 4 \to 4 + 4 + 4 = 12$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 7

(3) -10

(4) -3

(5) 7/3

(6) 12