はい、承知いたしました。画像にある4つの問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある4つの問題を解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた極限を求めます。具体的には、以下の4つの極限値を計算します。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{x}$

(2) $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3}}{x-2}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(1 + \frac{5}{x-5} \right)$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(3 - \frac{9}{x+3} \right)$

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2. 解き方の手順**

**(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{x}$**

まず、分子を有理化します。

$\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}$ に $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}$ を掛けて割ります。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{(1-x) - (1+x)}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{-2x}{x(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{-2}{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}}$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{1-x} \to 1$ かつ $\sqrt{1+x} \to 1$ なので、

$= \frac{-2}{1 + 1} = -1$

**(2) $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3}}{x-2}$**

分子を有理化します。

$\sqrt{x+1} - \sqrt{3}$ に $\sqrt{x+1} + \sqrt{3}$ を掛けて割ります。

$\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{3}}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{3})(\sqrt{x+1} + \sqrt{3})}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{3})}$

$= \lim_{x\to 2} \frac{(x+1) - 3}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{3})}$

$= \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{3})}$

$= \lim_{x\to 2} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{3}}$

$x \to 2$ のとき、$\sqrt{x+1} \to \sqrt{3}$ なので、

$= \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

**(3) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(1 + \frac{5}{x-5} \right)$**

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(1 + \frac{5}{x-5} \right) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(\frac{x-5+5}{x-5} \right)$

$= \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x-5} \right) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x-5}$

$= \frac{1}{0-5} = -\frac{1}{5}$

**(4) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(3 - \frac{9}{x+3} \right)$**

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(3 - \frac{9}{x+3} \right) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(\frac{3(x+3) - 9}{x+3} \right)$

$= \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(\frac{3x+9 - 9}{x+3} \right) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \left(\frac{3x}{x+3} \right)$

$= \lim_{x\to 0} \frac{3}{x+3} = \frac{3}{0+3} = 1$

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3. 最終的な答え**

(1) -1

(2) $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(3) $-\frac{1}{5}$

(4) 1