与えられた関数を微分する問題です。以下の関数について、導関数 $dy/dx$ を求めます。 (5) $y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$ (6) $y = \frac{1}{\sin^{-1}(x)}$ (7) $y = \sqrt{\cos^{-1}(2x)}$ (8) $y = x^{\sqrt{x}}$

はい、承知いたしました。問題の指示に従って、画像にある数学の問題を解いていきます。ここでは、(5), (6), (7), (8) の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。以下の関数について、導関数 $dy/dx$ を求めます。

(5) $y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$

(6) $y = \frac{1}{\sin^{-1}(x)}$

(7) $y = \sqrt{\cos^{-1}(2x)}$

(8) $y = x^{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(5) $y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$

合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$

$= \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(6) $y = \frac{1}{\sin^{-1}(x)}$

$y = (\sin^{-1}(x))^{-1}$と見て、合成関数の微分を行います。

$y' = -1 \cdot (\sin^{-1}(x))^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(x))$

$= -(\sin^{-1}(x))^{-2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$= -\frac{1}{(\sin^{-1}(x))^2 \sqrt{1-x^2}}$

(7) $y = \sqrt{\cos^{-1}(2x)}$

$y = (\cos^{-1}(2x))^{1/2}$と見て、合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{2} (\cos^{-1}(2x))^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(2x))$

$= \frac{1}{2\sqrt{\cos^{-1}(2x)}} \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x)$

$= \frac{1}{2\sqrt{\cos^{-1}(2x)}} \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2$

$= -\frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}(2x)} \sqrt{1-4x^2}}$

(8) $y = x^{\sqrt{x}}$

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln(x^{\sqrt{x}}) = \sqrt{x} \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\sqrt{x}} \left( \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \right)$

3. 最終的な答え

(5) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(6) $y' = -\frac{1}{(\sin^{-1}(x))^2 \sqrt{1-x^2}}$

(7) $y' = -\frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}(2x)} \sqrt{1-4x^2}}$

(8) $y' = x^{\sqrt{x}} \left( \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \right)$