与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = (2x-1)(2x^2-x+2)$ (2) $y = \frac{e^x}{x+1}$ (3) $y = e^{-x}\cos x$ (4) $y = \tan(e^x+1)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = (2x-1)(2x^2-x+2)$

(2) $y = \frac{e^x}{x+1}$

(3) $y = e^{-x}\cos x$

(4) $y = \tan(e^x+1)$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分法と多項式の微分法を使います。

まず、展開して、$y = (2x-1)(2x^2-x+2) = 4x^3-2x^2+4x-2x^2+x-2 = 4x^3-4x^2+5x-2$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 8x + 5$

(2) 商の微分法を使います。$y = \frac{u}{v}$のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u=e^x$, $v=x+1$なので、$u'=e^x$, $v'=1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{xe^x + e^x - e^x}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$

(3) 積の微分法を使います。$y = uv$のとき、$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$

$u=e^{-x}$, $v=\cos x$なので、$u'=-e^{-x}$, $v'=-\sin x$

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}\cos x + e^{-x}(-\sin x) = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$

(4) 合成関数の微分法を使います。$y = \tan u$で、$u = e^x+1$なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos^2 u} = \sec^2 u$

$\frac{du}{dx} = e^x$

よって、$\frac{dy}{dx} = \sec^2 (e^x+1) \cdot e^x = e^x \sec^2 (e^x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 8x + 5$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^x \sec^2 (e^x+1)$