定積分 $\int_{1}^{e} \frac{x-2}{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} \frac{x-2}{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を分解します。

$\frac{x-2}{x^2} = \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}$

したがって、積分は

$\int_{1}^{e} (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}) dx$

となります。各項を積分します。$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ と $\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$ を用います。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

$\int_{1}^{e} \frac{2}{x^2} dx = 2 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} dx = 2 [-\frac{1}{x}]_{1}^{e} = 2(-\frac{1}{e} - (-1)) = 2(1 - \frac{1}{e}) = 2 - \frac{2}{e}$

したがって、

$\int_{1}^{e} (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}) dx = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx - \int_{1}^{e} \frac{2}{x^2} dx = 1 - (2 - \frac{2}{e}) = 1 - 2 + \frac{2}{e} = \frac{2}{e} - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{e} - 1$