$\sin x + \sin y = 1$ かつ $\cos x + \cos y = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos(x-y)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin x + \sin y = 1$ かつ $\cos x + \cos y = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos(x-y)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二つの式をそれぞれ2乗します。

$(\sin x + \sin y)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y = 1^2 = 1$

$(\cos x + \cos y)^2 = \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

これらの式を足し合わせます。

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2(\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 1 + \frac{1}{9}$

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使うと、

$1 + 1 + 2(\sin x \sin y + \cos x \cos y) = \frac{10}{9}$

$2 + 2(\sin x \sin y + \cos x \cos y) = \frac{10}{9}$

$2(\sin x \sin y + \cos x \cos y) = \frac{10}{9} - 2 = \frac{10}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{8}{9}$

$\sin x \sin y + \cos x \cos y = -\frac{4}{9}$

ここで、$\cos(x-y)$ の加法定理を思い出します。

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

したがって、

$\cos(x-y) = -\frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{9}$