与えられた4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x + x^2}$ (3) $\lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{ah}}{h + ah^2}$ (ただし $a \neq 0$) (4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x + x^2}$

(3) $\lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{ah}}{h + ah^2}$ (ただし $a \neq 0$)

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$

これは基本的な極限の公式 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$ を利用します。

この問題では $x = -1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x + x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x(1 + x)}$

ここで、$x \to 0$ のとき $\frac{\log(1 + x)}{x} \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x(1 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = 1 \cdot \frac{1}{1 + 0} = 1$

(3) $\lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{ah}}{h + ah^2}$ (ただし $a \neq 0$)

$\lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{ah}}{h + ah^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{ah}}{h(1 + a h)}$

$e^{ah}$ のテイラー展開 $e^{ah} = 1 + ah + \frac{(ah)^2}{2!} + \dots$ を利用すると、

$\lim_{h \to 0} \frac{1 - (1 + ah + \frac{(ah)^2}{2!} + \dots)}{h(1 + a h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-ah - \frac{(ah)^2}{2!} - \dots}{h(1 + a h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-a - \frac{a^2h}{2!} - \dots}{1 + a h} = \frac{-a}{1} = -a$

または、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{ah}}{h + ah^2} = \lim_{h \to 0} \frac{-ae^{ah}}{1 + 2ah} = \frac{-a e^{a \cdot 0}}{1 + 2a \cdot 0} = \frac{-a \cdot 1}{1} = -a$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$

$e^x$ と $e^{-x}$ のテイラー展開 $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$ および $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \dots$ を利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \dots)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + 2\frac{x^3}{3!} + \dots}{x} = \lim_{x \to 0} (2 + 2\frac{x^2}{3!} + \dots) = 2$

または、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} = \frac{e^0 + e^{-0}}{1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{e}$

(2) 1

(3) $-a$

(4) 2