与えられた関数を微分する問題です。画像には7つの関数が示されていますが、ここでは、(2) $y = \frac{e^x}{x+1}$, (3) $y = e^{-x} \cos x$, (5) $y = \tan^{-1}\sqrt{x}$, (6) $y = \frac{1}{\sin^{-1}x}$, (7) $y = \sqrt{\cos^{-1}2x}$の微分について解説します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。画像には7つの関数が示されていますが、ここでは、(2) $y = \frac{e^x}{x+1}$, (3) $y = e^{-x} \cos x$, (5) $y = \tan^{-1}\sqrt{x}$, (6) $y = \frac{1}{\sin^{-1}x}$, (7) $y = \sqrt{\cos^{-1}2x}$の微分について解説します。

2. 解き方の手順

(2) $y = \frac{e^x}{x+1}$の場合：

商の微分公式$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$を使います。

$u = e^x$, $v = x+1$とすると、$u' = e^x$, $v' = 1$です。

$y' = \frac{e^x(x+1) - e^x(1)}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$

(3) $y = e^{-x} \cos x$の場合：

積の微分公式$(uv)' = u'v + uv'$を使います。

$u = e^{-x}$, $v = \cos x$とすると、$u' = -e^{-x}$, $v' = -\sin x$です。

$y' = -e^{-x}\cos x + e^{-x}(-\sin x) = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$

(5) $y = \tan^{-1}\sqrt{x}$の場合：

合成関数の微分を使います。$\frac{d}{dx}\tan^{-1}u = \frac{1}{1+u^2}\frac{du}{dx}$

$u = \sqrt{x}$とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(6) $y = \frac{1}{\sin^{-1}x}$の場合：

合成関数の微分を使います。$y = (\sin^{-1}x)^{-1}$と見なせます。$\frac{d}{dx}u^n = nu^{n-1} \frac{du}{dx}$

$u = \sin^{-1}x$とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = -1(\sin^{-1}x)^{-2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{(\sin^{-1}x)^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(\sin^{-1}x)^2}$

(7) $y = \sqrt{\cos^{-1}2x}$の場合：

合成関数の微分を使います。$\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{du}{dx}$

$u = \cos^{-1}2x$とすると、$\frac{d}{dx}\cos^{-1}u = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos^{-1}2x}} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}2x}\sqrt{1-4x^2}}$

3. 最終的な答え

(2) $y' = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$

(3) $y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$

(5) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(6) $y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(\sin^{-1}x)^2}$

(7) $y' = -\frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}2x}\sqrt{1-4x^2}}$